Question

在三角形ABC中，∠ABC=90，AB=4，BC=3.O是边AC上的一个动点，以O为圆心作半圆，与边AB相切于点D

叫线段OC于点E.作EP⊥ED，交射线AB于点P，叫射线CB于点F.
(1)如图，求证三角形ADE∽三角形AFP；
(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当BF=1时，求线段AP的长.

大家帮帮忙，谢了！
如图

Answer 1

第一问题目应该有问题吧，这两个三角形的钝角分别是ADE和APF，而这两个角的补角分别是PDE和BPF，很显然在三角形FPB和PED中，角F和角PDE是相等的，假设那两个三角形相似，则角F角和BPF相等，BP、BF两线段也就相等，这显然不可能。我猜测是：求证三角形ADE和AEP相似
连接OD,角ADE=90+角ODE
角AEP=90+角OED，OD=OE,则
角ADE=角AEP,又角A公共，二者相似即可得。

至于第二问，根据相似，得出对应边的比值相同，再结合勾股定理，应该可以计算出来，但不要忘记最后写上自变量x的取值范围

第三问应该是根据第二问来的，带入计算就行了。这类题，一般都是一环套一环的。

Answer 2

角ABC等于90度,ABC(逆时针排列）
BC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5,
以点O为圆心作半圆，与边AB相切与点D，交线段OC于点E，作EP垂直ED，交射线AB于点P，交射线BC于点F,

情况1,
半圆O的半径R较小时,EP交AB于点P，P在AB之间;交CB延长线于点F,F在B的左侧:
半圆O与边AB相切与点D,∠ADO=90度,
∠ODE=∠OED,[因为DO=EO=R],
∠ODE+∠EDP=∠OED+∠CEF=90度
所以∠EDP=∠CEF,
直角△PBF∽△PED,(AAA),
所以∠BFP=∠EDP,
故∠BFP=∠CEF,
因此CF=CE,CE=CF=CB+BF=3+1=4,
作EG垂直BC,交BC于G,
直角△EGC∽△ABC,(AAA),
EG:AB=EC:AC,
EG=4*4/5=16/5,
同理,CG=12/5,
FG=FB+BG=FB+BC-CG=1+3-12/5=8/5,
直角△PBF∽△EGF,(AAA),
PB:EG=FB:FG,
PB=(16/5)/(8/5)=2,
AP=AB-PB=4-2=2;

情况2,
半圆O的半径R较大时,EP交AB延长线于点P，P在B下方;交BC于点F,F在BC之间:
与情况1类似过程,
可以得
CF=CE,CE=CF=BC-BF=3-1=2
EG=8/5,
CG=6/5,
FG=FC-CG=2-6/5=4/5,
PB:EG=FB:FG,
PB=(8/5)/(4/5)=2,
AP=AB+PB=4+2=6;

Answer 3

图呢