Question

一道高中数学题，急，答得好的话追加分

已知二次函数f(x)=ax²+bx+1(a、b∈R，a＞0),设方程f(x)=x的两实根为α和β。
（1）若α＜2＜β＜4，设函数f(x)的对称轴为直线x=x0，求证：x0＞-1；
（2）若/α/＜2，/α-β/=2，求b的取值范围
还有其他方法不，大家都来看一下，方法越多越好！我想多看几种方法，楼下那几位的方法都很好，非常感谢！
这道题的正确答案是：（2）当0＜α＜2时，b＜1/4；当-2＜α＜0时，b＞7/4

Answer 1

f(x)=ax^2+bx+1，(a,b∈R；a>0) f(x)=x有α、β两根

Δ=(b-1)^2-4a>0

一）α<2<β<4，对称轴x=x[0]，求证x[0]>-1

f'(x)=2ax+b
对称轴x=-b/2a

由题意，开口向上，有一根大于2一根小于2，故2处小于0
即：
f(2)-2<0 (1)
又两根都小于4，故4处大于0
即：
f(4)-4>0 (2)

(1)=>4a^2+2b-1<0
(2)=>16a^2+4b-3>0
(1)*3+(2)=>
12a^2+6b-3<16a^2+4b-3
2b<4a^2
又a≠0，同时除以a^2
b/(2a)<1
-b/(2a)>-1
x[0]>-1

二）|α|<2, |α-β|=2，求b的范围

Δ=(b-1)^2-4a>0

|α-β|=√Δ/|a|=√((b-1)^2-4a)/a=2
(b-1)^2=4a^2+4a
(2a+1)^2=(b-1)^2-1
(2a+1)=√((b-1)^2-1)

α≠0

α<0时 α∈(-2,0)
(f(-2)-(-2))f(0)<0
4a-2(b-1)+1<0
4a-2b+3<0
2√((b-1)^2-1)-2b+1<0
2√((b-1)^2-1)<2b-1
1<4((b-1)^2-1)<(2b-1)^2
(b-1)^2>5/4 and 0<4b+1
(b<-√5/2+1 or b>√5/2+1) and (-1/4<b)
b>√5/2+1

α>0时 α∈(0,2)
(f(2)-2)f(0)<0
4a+2(b-1)+1<0
4a+2b-1<0
2√((b-1)^2-1)<2b+3
1<4((b-1)^2-1)<(2b+3)^2
5/4<(b-1)^2 and 0<20b+9
(b<-√5/2+1 or b>√5/2+1) and (-9/20>b)
b>√5/2+1

好像还是有错……

Answer 2

(1)∵a>0 ∴f(x)-x图像开口向上
∴f(2)-2<0 f(4)-4>0 ∴4a+2b-1<0 16a+4b-3>0 a>0
x0=-b/2a由线性规划得b/a<2
∴x0＞-1
(2)∵/α-β/=（根号下（b-1）^2-4a）/a=2
∴（b-1)^2=4a^2+4a
①在(-2,2)上有一解 a>1/8 ∴b<1/4或b>7/4
②在(-2,2)上有两解 无解
∴b<1/4或b>7/4
（不知道对不对，最好自己算一下，只是思路）

Answer 3

支持荒野之鹰的答案~~~

Answer 4

真的看不清，请打出来

Answer 5

看不太清楚，打出来吧