Question

帮我看一道题，这样做对吗？

题目：证明，存在无穷多对正整数（m，n），满足方程m²+25n²=10mn+7（m+n）。
解：m²+25n²-10mn=7（m+n）
(m-5n)²=7(m+n)①
设①=k
m-5n=√k
m=√k+5n
7(m+n)=k
m=(k-7n)/7
(k-7n)/7=√k+5n
n=(k-7√k)/42
同理可得：m=（5k-7√k）/42
∵正整数（m，n）
∴7（m+n）为正整数
∴k为正整数
∴无穷对正整数（m,n）=（（5k-7√k）/42，(k-7√k)/42）

Answer 1

可以
不过比较麻烦~其实不用把（m,n)表示出来
直接这么写即可
由m^2+25n^2=10mn+7(m+n)得(m-5n)^2=7(m+n)
因为平方的结果中有7
则(m-5n)^2只能等于49的次方即49^a（a>=0）
所以对应一个a的值都有一组m，n的值相与之对应！

Answer 2

不对，怎么说明（5k-7√k）/42、(k-7√k)/42是正整数？
得到(m-5n)²=7(m+n)后，令
m+n=7k^2，则m-5n=7k
联立上面两个式子，得
6n=7k（k-1）即n=7k（k-1）/6
不妨设k=6p（p为整数），则n=7p（6p-1）（此时，n为整数）
m=7k+5n（k，n都是整数）故m也是整数，
写得比较乱，你自己仔细看一下！

Answer 3

不对，从m-5n=√k这一步就开始错了。由题可得（m-5n)的平方大于或等于0，则有k大于或等于0，√k亦然，而m-5n的正负不明，所以不可得等式m-5n=√k，正确的步骤应为m-5n=+√k或m-5n=-√k.原答案后面的思路基本正确，按这个思路重算一遍就可得出正确答案。做题需注意数的正负性。