Question

已知定点A（3,1），在直线y=x和y=0上分别求点M,N 使△ANM周长最短，并求最短周长

Answer 1

作A点关于y=x的对称点A1，作y=0的对称点A2，显然A1A2是△ANM的最短周长

证明如下：假设MN不是在A1A2上，则

因为y=x是AA1的垂直平分线

=>AM=A1M,AN=A2N

△ANM周长=AM+AN+MN=A1M+A2N+MN>A1M+A2N>A1A2

因此A1A2是△ANM的最短周长

M，N实际就是A1A2和y=x和y=0的交点

A1关于y=x对称，所以A1的坐标是（1，3）

A2关于y=0对称，所以A2的坐标是（3，-1）

A1A2的直线方程是：

（x-1)/(3-1)=(y-3)/(-1-3)

=》y=-2x+5

分别和y=x和y=0求交点，得M(5/3,5/3) N(5/2,0)

最短周长=A1A2=根号((3-1)^2+(3+1)^2)=2*根号5