Question

弦AB和CD相交于圆O内一点P,且∠OPB=∠OPD，求证（1）弧AB=弧CD （2）PA=PC

Answer 1

如图：

过O分别作AB、CD的垂线，垂足为E、F；并连接OB、OD

可知：E、F是AB、CD的中点

因为∠OPB=∠OPD，OP=OP，

所以：△OPE≌OPF，所以，OE=OF

又因为OB=OD

所以△ODF≌OBE

所以DF=BE，所以AB=CD，所以弧AB=弧CD 

2、

有（1）：

AE=CF，且PE=PF

所以，PA＝PC

Answer 2

OP交AC弧于点E，交BD弧于点F，连接AE，CE，BF，DF，
因为OP平分∠BPD，
所以∠BOF=∠DOF，则DF弧=BF弧，所以BF=DF，
所以三角形DPF与三角形BPF全等（根据边角边定理）
同理可证三角形APF与三角形CPF全等，
所以可得出AP=CP，DP=BP，
因为∠APD与∠CPB为对角，
所以∠APD=∠CPB，
所以三角形APD与三角形CPB全等，
所以AD=CB，
所以AD弧=BC弧

或
如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，且∠OPB=∠OPD，求证：（1）弧AB=弧CD；（2）PA=PC.

证明：
1、过O作OE⊥CD于E，作OF⊥AB于F，
∵∠OPB=∠OPD，即OP平分∠BPD，
∴OF=OE，
∴AB=CD，∴弧AB=弧CD
2、
连接AD，BC
∵弧AB-弧AC=弧CD-弧AC
∴弧BC=弧AD，∴BC=DA，
又∠B=∠D，∠C=∠A，
∴△PBC和△PDA全等，∴PA=PC。