弦AB和CD相交于圆O内一点P,且∠OPB=∠OPD,求证(1)弧AB=弧CD (2)PA=PC
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OP交AC弧于点E,交BD弧于点F,连接AE,CE,BF,DF,
因为OP平分∠BPD,
所以∠BOF=∠DOF,则DF弧=BF弧,所以BF=DF,
所以三角形DPF与三角形BPF全等(根据边角边定理)
同理可证三角形APF与三角形CPF全等,
所以可得出AP=CP,DP=BP,
因为∠APD与∠CPB为对角,
所以∠APD=∠CPB,
所以三角形APD与三角形CPB全等,
所以AD=CB,
所以AD弧=BC弧
或
如图,弦AB和CD相交于圆O内一点P,且∠OPB=∠OPD,求证:(1)弧AB=弧CD;(2)PA=PC.
证明:
1、过O作OE⊥CD于E,作OF⊥AB于F,
∵∠OPB=∠OPD,即OP平分∠BPD,
∴OF=OE,
∴AB=CD,∴弧AB=弧CD
2、
连接AD,BC
∵弧AB-弧AC=弧CD-弧AC
∴弧BC=弧AD,∴BC=DA,
又∠B=∠D,∠C=∠A,
∴△PBC和△PDA全等,∴PA=PC。
因为OP平分∠BPD,
所以∠BOF=∠DOF,则DF弧=BF弧,所以BF=DF,
所以三角形DPF与三角形BPF全等(根据边角边定理)
同理可证三角形APF与三角形CPF全等,
所以可得出AP=CP,DP=BP,
因为∠APD与∠CPB为对角,
所以∠APD=∠CPB,
所以三角形APD与三角形CPB全等,
所以AD=CB,
所以AD弧=BC弧
或
如图,弦AB和CD相交于圆O内一点P,且∠OPB=∠OPD,求证:(1)弧AB=弧CD;(2)PA=PC.
证明:
1、过O作OE⊥CD于E,作OF⊥AB于F,
∵∠OPB=∠OPD,即OP平分∠BPD,
∴OF=OE,
∴AB=CD,∴弧AB=弧CD
2、
连接AD,BC
∵弧AB-弧AC=弧CD-弧AC
∴弧BC=弧AD,∴BC=DA,
又∠B=∠D,∠C=∠A,
∴△PBC和△PDA全等,∴PA=PC。
参考资料: 上网查
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