Question

高一一道数学题

已知a>0且a不等于1,F(log以a为底X的对数)=1/a^2-1(X-(1)/X)
若对于函数F(X),当X属于(-1,1)时,有F(1-M)+F(3M-2)<0恒成立,求实数M的取值范围.
不好意思写错了 F(log以a为底X的对数)=1/(a^2-1)乘以(X-(1/X)) 写一下步骤

Answer 1

设：log以a为底X的对数=t
则 x=a^t
F(t)=1/(a^2-1)*[(a^t)-(1/a^t)]=1/(a^2-1)*[(a^t)-（a^-t)]
∴ F(1-M)+F(3M-2)=1/(a^2-1)*[(a^(1-M))-(a^(M-1))]+1/(a^2-1)*[(a^(3M-2))-(a^(2-3M))]
=1/(a^2-1)*[(a^(1-M）)-(a^（M-1）)+(a^（3M-2）)-(a^（2-3M）)]
=1/(a^2-1)*[(a^(1-M))(1-a^(1-2M)-(a^（M-1）)+(1-a^(2M-1))]<0
∴1/(a^2-1）与 [(a^(1-M))(1-a^(1-2M)-(a^（M-1）)(1-a^(2M-1))]异号
⑴当1>a>0时 则1/(a^2-1）<0
∴[(a^(1-M))(1-a^(1-2M)-(a^（M-1）)(1-a^(2M-1))]>0
∵a^(1-M)>0 , a^（M-1)>0
∴（1-a^(1-2M))>(1-a^(2M-1))
M>1/2
⑵当a>1时 则1/(a^2-1）>0
∴[(a^(1-M))(1-a^(1-2M)-(a^（M-1）)(1-a^(2M-1))]<0
∵a^(1-M)>0 , a^（M-1)>0
∴（1-a^(1-2M))>(1-a^(2M-1))
M>1/2
∴实数M的取值范围为M∈（1/2，+无穷）

Answer 2

2

Answer 3

先判断单调性，然后求解不等式即可，变量均在定义域范围，便可得解