奥数题解，题与解答
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题目：甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖粒数就是乙的糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖粒数就是乙的糖粒数的3倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？
分析与解：这道题虽属差倍问题，但解答时很有难度。若能着眼全局，从整体上加以考察，抓住题中的不变量加以分析，就能使问题迎刃而解。
因为不管甲给乙多少粒糖，还是乙给甲多少粒糖，甲、乙两个小朋友共有糖粒的总数始终没有变化。甲给乙一定数量的糖后，甲的糖粒数就是乙的糖粒数的2倍，说明这时乙的糖粒数是总数的 ；乙给甲同样数量的糖后，甲的糖粒数就是乙的糖粒数的3倍，说明这时乙的糖粒数是总数的 ，相差 。
假设甲给乙1粒（至少为1粒），那么甲还有（甲-1）粒，如果乙给甲同样多的粒数，则甲有（甲+1）粒，“甲+1”与“甲-1”相差数为2， （粒）。
假设甲给乙2粒……那么“甲+2”与“甲-2”相差数为4， （粒）。
已知每袋糖不到20粒，则两人糖的总数不到40粒，显然48粒不符合题意，那么就说明甲、乙两个小朋友共有糖24粒
2.先比较再选择
题目：希望小学要买50个足球，现有甲、乙、丙三家商店可以选择。三家商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠方法不同。甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送；乙店：每个足球优惠5元；丙店：购物满100元返回现金20元。为了节省费用，希望小学应该到哪家商店购买呢？
分析与解：从问题出发，希望小学肯定应选择买50个足球所需费用最少的商店去购买，也就是要分别求出这三家商店优惠后的总价。
已知甲店买10个足球免费赠送2个，那么买20个免费赠送4个，买30个免费赠送6个，买40个免费赠送8个。40个加上赠送的8个共计（40+8）48个，而希望小学一共要买50个，还差2个，这2个得自己掏钱买了，也就是说希望小学如果去甲店购买的话，只需买42个，按每个25元计算，共需（25×42）1050元。
由于乙店每个足球优惠5元，也就是每个足球按20元的单价计算。所以，买50个足球共需（50×20）1000元。
由于丙店购物满100元返回现金20元，而不满100元这个优惠是不能享受的。买50个足球，每个25元，共计（50×25）1250元。1250元里有12个100，从优惠方案中可知，可以优惠（12×20）240元。也就是说希望小学去丙店购买的话，共需（1250－240）1010元。
从上可知，享受优惠后希望小学买50个足球的总价分别是：甲店需1050元，乙店需1000元，丙店需1010元。为了节省费用，希望小学当然要到花钱最少的商店去购买，即选择乙店，只需1000元。
3.巧 妙 变 换
数学练习课上，老师出了这样一道题目：“6.28×7.81＋37.2×0.781”，让同学们计算。
大家都全神贯注用竖式计算，不一会儿，小林说：“我做好了。”“你怎么算得这么快？”随着老师的问话，同学们放下了手中的笔，投去了怀疑的目光。“我是这样算的。”说罢他到黑板上写出了计算过程：
老师佩服地对小林说：“你真行，你怎么想到这样算的？”
小林说：“计算之前，我仔细观察了这道题中的数据，发现了”6.28×7.81”中的因数7.81与”37.2×0.781”中的因数0.781只是小数点的位置不同，根据积的变化规律可知，如果把”37.2×0.781”中两个因数的小数点移动一下，变换成”3.72×7.81”，积是不变的。变换之后就可以用乘法分配律进行简便计算了。”同学们受小林的启发，又想到了一种简便的算法。即：
看来在计算时，我们要注意观察算式中数据的特点，尽可能挖掘出隐藏着的简算因素，从而正确、迅速地进行计算
4.运用规律 化难为易
从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，那么这个圆的面积与原来正方形的面积之比是多少？周长之比呢？
设剪下的面积最大的圆的半径为r，则原正方形的边长就是2r。
由此可得：在一个正方形中剪下一个面积最大的圆，那么这个圆与原来正方形的面积之比、周长之比都是 。
运用这个规律，我们可以使一些题目的解答变得更加简便，更加容易。
例1. 从一块面积是36平方厘米的正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，这个圆形铁皮的面积是多少平方厘米？
分析与解：因为，
所以，这块圆形铁皮的面积＝原来正方形的面积
即 （平方厘米）
例2. 从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，已知这个圆的面积是25.12平方厘米，原来正方形铁皮的面积是多少平方厘米？
分析与解：因为，
所以，原来正方形的面积＝最大圆的面积
即 （平方厘米）
例3. 从一个周长是36厘米的正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，这块圆形铁皮的周长是多少厘米？
分析与解：因为，
所以，这块圆形铁皮的周长＝原来正方形铁皮的周长
即 （厘米）
例4. 从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，已知这个圆的周长是25.12厘米，原来正方形铁皮的周长是多少厘米？
分析与解：因为，
所以，原来正方形的周长＝最大圆的周长÷
即 （厘米）
想一想：从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，剩下的铁皮面积占原来正方形面积的几分之几？没有告诉我们具体的数据，应该怎样解答呢
5.巧求“总和”妙解难题
数学竞赛中，有些题目初看不知从何处下手，但若能巧妙求出“总和”，问题就会迎刃而解。
例1. 三张卡片上分别写着三个互不相等的自然数。甲、乙、丙三人按以下规则做游戏：每人每次从袋里各拿出一张卡片，并走与卡片上的数相同的步数，然后一起把卡片放回袋里，开始第二个回合。在进行了n个这样的回合后，甲走了20步，乙走了10步，丙走了9步。如果在最后一个回合中，乙拿到的是写有最大数的那张卡片，这三个自然数分别是（ ）、（ ）和（ ）。（第一届“九章杯”中国小学生数学竞赛决赛试题第15题）
分析与解：先求出甲、乙、丙三人所走步数的总和，根据条件可知，这个总和为20＋10＋9＝39（步），然后再求他们进行了几个回合，因为每个回合他们三人步数的和都相等，因39＝1×39＝3×13，所以他们不可能进行了1个、13个或39个回合，所以他们只能是进行了3个回合，每个回合他们三人步数之和为13。
又因为乙在最后一个回合拿到的是写有最大数的那张卡片，而他走了10步，所以这三个自然数中最大的一个是8，且至少也为8，否则甲不可能达到20步。因此，这三个自然数只能是8、4、1或8、3、2。经试验，甲：8＋8＋4＝20，乙：1＋1＋8＝10，丙：4＋4＋1＝9，这三个自然数是8、4、1。
例2. 甲盒中有99个白球和100个黑球，乙盒中有足够多的黑球。现在每次从甲盒中任意取出两个球放在外面。如果两个球同色，则从乙盒中取出1个黑球放入甲盒；如果两个球异色，仍将其中的白球放回甲盒中。这样经过197次取放之后，甲盒中剩几个球？各是什么颜色？请说明理由。
分析与解：先求出经过197次取放后，甲盒中球数减少的“总和”。根据取放规则，取同色2球，放回1黑球，甲盒中每次少1个球。取异色球，放回1白球，甲盒中仍是每次少1个球。即甲盒中的球每取放1次减少1个，所以甲盒中球减少的“总和”是197个，则甲盒中只剩下99＋100－197＝2（个）球。
又因为甲盒中的白球只有在取出的2个球都是白色时才会减少，且白球总是成对减少，即甲盒中的白球始终保持奇数个。因此，取放197次后，甲盒中只有一黑一白两个球。
6.运用比的基本性质巧解题
同学们已经学过有关比的知识了，知道两个数相除又叫做两个数的比。比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。如a：b＝2a：2b，还有a：b＝（a÷2）：（b÷2）。也许同学们对比的基本性质已有所了解，但是否能运用比的基本性质解决一些实际问题呢？下面我们应用比的基本性质解两道应用题。
例1. 某次考试，甲、乙两同学的得分之比为5：4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的得分之比就是5：7，问：甲、乙两同学实际各得多少分？
分析与解：由题意可知，甲、乙两人的分数之和没有变化。所以可以将甲、乙两人实际得分总和看作5＋4＝9（份），变化后甲、乙两人得分看作5＋7＝12（份），份数之和发生了变化，这正是解题的障碍所在。若将9份与12份统一加以变化，这道题就迎刃而解了。因为9与12的最小公倍数是36，所以我们可以将甲、乙实际得分的比例和变化后甲、乙得分的比例按总份数为36份来变化。
5：4＝（5×4）：（4×4）＝20：16……总份数为20＋16＝36（份）
5：7＝（5×3）：（7×3）＝15：21……总份数为15＋21＝36（份）
这时它们的总份数相同，都是36份。由此可见，甲少得的22.5份，相当于甲少了20－15＝5（份）；乙多得的22.5分，相当于乙多了21－16＝5（份）。则原来甲得了（22.5÷5）×20＝90（分）；乙得了（22.5÷5）×16＝72（分）。
例2. A、B两种商品的价格之比是7：3，如果它们的价格分别上涨70元，则它们的价格之比是7：4。问：这两种商品原来的价格是多少元？
分析与解：因为A、B两种商品价格上涨的幅度相同，所以涨价前后两种商品价格之差仍保持不变。从7：3来看，两种商品的价格差为7－3＝4（份）；从7：4来看，它们的价格差为7－4＝3（份）。根据比的基本性质可得下列两个式子：
7：3＝（7×3）：（3×3）＝21：9……相差份数为21－9＝12（份）
7：4＝（7×4）：（4×4）＝28：16……相差份数为28－16＝12（份）
这时它们相差的份数相同，都是12份。由此可见，A商品的价格是从21份涨到了28份，也就是28－21＝7（份），相当于70元，所以A商品原来的价格是70÷7×21＝210（元），B商品原来的价格是70÷7×9＝90（元）。
7.巧妙“割补”化难为易
在计算平面图形的面积时，经常会遇到一些比较复杂的组合图形，若能巧妙地将这些图形进行割补转化，往往能化难为易。
例1. 如下图，大、小正方形的边长之和为20厘米，面积之差为40平方厘米，求大、小正方形的边长各是多少厘米？
分析与解：根据题意，对上图进行分割（如图1），由已知条件可得A、B、C三块阴影部分的面积之和是40平方厘米，再将图1转化为图2，则可求得阴影部分长方形的宽为40÷20＝2（厘米）。
图1 图2
所以，小正方形的边长为（20－2）÷2＝9（厘米）；大正方形的边长为9＋2＝11（厘米）。
例2. 一个正方形，如果一条边增加6厘米，另一条边增加2厘米，所得的长方形的面积就比原正方形的面积多92平方厘米，求原正方形的边长。
分析与解：根据题意可作出上图。正方形边长变化后，增加的部分可分成A、B、C三个部分，其中C的面积是6×2＝12（平方厘米），则A、B的面积之和为92－12＝80（平方厘米），A和B各有一条边长正好是原正方形的边长，因而A和B可以拼成一个宽为2＋6＝8（厘米）的长方形（如下图）。因这个长方形的面积为80平方厘米，宽为8厘米，所以可得原正方形的边长为（92－6×2）÷（6＋2）＝80÷8＝10（厘米）。
例3. 一个正方形的一条边增加6厘米，另一条边减少2厘米，所得长方形的面积比原正方形的面积多68平方厘米，求原正方形的边长。
分析与解：根据题意可作出下图。
图中阴影部分B为增加的面积，阴影部分A为减少的面积，由已知条件可得B的面积比A的多68平方厘米。补上面积C，C的面积为6×2＝12（平方厘米），则B和C的面积之和比A的面积多68＋12＝80（平方厘米）。因B和C所组成的长方形的长是原正方形的边长，A所在长方形的长也是原正方形的边长，所以通过拼割可以作出下图。
从上图中可以看出，80平方厘米是以原正方形边长为长，以6－2＝4（厘米）为宽的长方形的面积。从而可求出原正方形边长为：
（68＋6×2）÷（6－2）
＝80÷4
＝20（厘米）
综上所述，可知在解答这类图形题时，应紧紧抓住图形的特点，从题中所给的已知条件出发，割拼结合，巧妙拼补，这样才能清晰地凸现它们之间的关系，达到化难为易、化繁为简的解题目的。
8.数形结合 巧解难题
题目 上体育课时，同学们站好队，一至二报数，然后让报一的学生退出队列；再一至二报数，同样也让报一的学生退出队列；但从第三次开始，每次报数后，一律让报二的学生退出队列，……直到最后剩下一个人为止，问最后剩下的一个人最初排在队列的第几位？
分析与解：初看这道题，感觉很复杂，没有思路，但只要运用数形结合的方法，就很容易得出答案。方法如下：用圆圈代表学生（不妨以19人为例），第一次报数后出现的情况如图1所示，第二次报数后出现的情况如图2所示，第三次报数后出现的情况如图3所示，第四次报数后出现的情况如图4所示。
至此，就得到了答案：最后剩下的一个人最初排在队列的第4位（值得注意的是：从纯数学的角度考虑，本题应再加一个条件“上课的学生人数不少于4人”，但联系实际情况，无此条件也是可以的）。
进一步研究就会发现：只要总人数不少于4人，最后剩下的一个人最初都是排在第4位。为什么会有这样的规律呢？与哪些条件有关呢？我试着把条件“让报一的学生退出队列”的次数改为3次，其余条件不变，结果就发生了变化，最后剩下的一个人最初排在队列的第8位。换了假定的人数，结果依然相同。我又一次调整这一条件出现的次数，让它出现4次，其余条件还是不变，则最后剩下的那一个人最初排在队列的第16位。最后我得出的结论是：已知条件“让报一的学生退出队列”出现的次数与问题“最后剩下的一个人最初排在队列的第几位？”关系密切。假如把已知条件“让报一的学生退出队列”出现的次数设为n，那么最后剩下的一个人最初就排在队列的第2n位。本题中这一条件出现2次，则剩下的一个人最初排在队列的第22＝4（位）；出现3次，剩下的一个人最初就应排在队列的第23＝8（位）。
下面，请你也来试一试：
当报一的这一条件出现5次，其余条件不变时，最后剩下的一个人最初应排在队列的第几位呢？
9.挖掘题目内涵 拓宽解题思路
有些应用题，通过挖掘题目内涵，就能拓宽解题思路，寻求多解，并有利于提高学生的思维水平和解题能力。
〔题目〕某通讯员骑摩托车从甲地往乙地发送文件，到达乙地后立即返回，往返共用去2小时。已知去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米，求甲、乙两地相距多少千米。
〔分析与解〕此题可用八种策略解答：
策略一：等价变换
此题的已知条件与问题很难直接建立数量关系，若将已知条件进行等价变换，问题就容易解决了。已知条件可等价变换为：去时行1千米要用 小时，返回时行1千米要用 小时。据此，往返各行1千米一共要用 （小时），又因为这位通讯员往返共用去2小时，由此就可求出甲、乙两地的路程为： （千米）。
策略二：引量过渡
对问题提出假设性答案，为解题“搭桥”。假设两地的路程为90千米（45和30的最小公倍数），则去时要用90÷45＝2（小时），返回时要用90÷30＝3（小时），往返共用5小时。而题目中告诉我们往返共用去了2小时，即5小时的 ，所以甲、乙两地的实际路程是90千米的 ，即 （千米）。
策略三：增设参数
将某个未知数量用字母表示，直接参与计算。如用字母“t”表示去时所用的时间，则甲、乙两地的路程可表示为45t，返回时所用的时间可表示为 。由通讯员往返一次所行的总路程45t×2＝90t与所用的总时间 ，可求得通讯员往返的平均速度为： ，进而可求出甲、乙两地相距的路程为：36×2÷2＝36（千米）。
策略四：横向联系
通过横向联系，从“比和按比例分配”的角度入手。根据“去时和返回时的速度之比为45∶30＝3∶2”，可知“行同样的路程，去时和返回时所用的时间之比为2∶3”，用按比例分配的方法即可求出去时所用的时间为： （小时），进而可求出甲、乙两地的路程为：45×0.8＝36（千米）。
策略五：确定单位
把题目中涉及到的某个数量设为单位“1”，根据数量关系可进一步分析求解。如把返回时所用的时间设为单位“1”，则甲、乙两地的路程为30×1＝30，去时所用的时间为 ，由此可求出返回时所用的时间为 （小时），进而可求出甲、乙两地相距的路程为：30×1.2＝36（千米）。
策略六：变式转换
根据“返回时所用的时间＝2小时－去时所用的时间”可以列出等式：45×去时所用的时间＝30×（2－去时所用的时间），然后通过去括号、移项可得：45×去时所用的时间＋30×去时所用的时间＝30×2，由此可以求出去时所用的时间为：30×2÷（45＋30）＝0.8（小时），进而可求出两地的路程为：45×0.8＝36（千米）。
策略七：据理估算
由“去时的速度是返回时速度的45÷30＝ 倍”可知，去时所用的时间小于1小时，返回时所用的时间大于1小时，所以可将去时所用的时间估算为0.9小时，返回时所用的时间估算为1.1小时，则去时的速度是返回时速度的 倍，这说明我们估算的去时所用的时间偏大了，返回时所用的时间偏小了，可试着调整为：去时所用的时间为0.8小时，返回时所用的时间为1.2小时，则去时的速度是返回时速度的 倍，符合题目条件，故调整后的估算正确，因此，甲、乙两地相距的路程为：45×0.8＝36（千米），或30×1.2＝36（千米）。
策略八：特殊假设
假设去时用2小时，返回时用0小时，则可推出“去时路程－返回路程＝45×2－30×0＝90千米”，为什么会有路程差呢？这是因为去时路程被看成“45×2”，多了“45×返回时所用的时间”；而“返回路程”被看成“30×0”，少了“30×返回时所用的时间”，也就是说，被减数多了“45×返回时所用的时间”，减数少了“30×返回时所用的时间”，差就多了90千米，所以，45×返回时所用的时间＋30×返回时所用的时间＝90千米，由上式即可求出返回时所用的时间为：90÷（45＋30）＝1.2（小时），进而可求出甲、乙两地的路程为：30×1.2＝36（千米）。
10.先估算 再确定
三个连续正整数，如果中间一个是完全平方数，那么这样的三个连续正整数的积被称为“美妙数”。问所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？（全国第九届“华罗庚金杯”赛暨南通市“华杯”赛六年级试题）
〔一般解法〕
根据题意，符合条件的三个连续正整数的积要小于2008，我们不妨先估算这三个连续正整数的范围。因为“美妙数”要求三个连续正整数中间的一个数是完全平方数，所以由8×9×10＝720和15×16×17＝4080可知中间一个数的完全平方数肯定不大于9，也就是说符合条件 三个连续正整数只有3、4、5和8、9、10两组。综合以上分析，小于2008的“美妙数”为3×4×5＝60和8×9×10＝720。因60与720的最大公约数为60，所以所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是60。
〔巧妙解法〕
根据题意，很容易找出最小的“美妙数”为3×4×5＝60，所以符合条件的三个连续正整数中必定有一个数是3的倍数，其中也必定有一个是偶数，且这个偶数也一定是4的倍数。又因为三个连续正整数中间一个要求是完全平方数，所以完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9，末位数字是0和5的数字又一定是5的倍数，与末位数字为1、4、6、9相邻的正整数中，一定有一个正整数是5的倍数，因此，“美妙数”一定是3、4、5的公倍数，即“美妙数”一定是3×4×5＝60的倍数。而最小的“美妙数”是60，因此这些“美妙数”的最大公约数也一定是60。
11. 拆拆合合，神机妙算
小朋友，下面几道题我一会儿就做了出来，你一定认为我用了计算器才算得那么快的。其实不是这样的，看，我拆拆合合，就可以神机妙算。
（1）7227÷73
我是这样想的：7227比7300少了1个73，而7300里有100个73，所以7227里就有99个73。
（2）99×99＋199
我是这样想的：先从199里拿1个99出来，与99×99合起来就有100个99相加了。再加上剩下的100，实际上就是100个100相加。
（3）80000÷125÷2÷5÷8
我是这样想的：把80000缩小125倍，再缩小8倍，实际上是缩小了1000倍，接着又缩小2倍，缩小5倍，即又缩小了10倍。
分析与解：这道题虽属差倍问题，但解答时很有难度。若能着眼全局，从整体上加以考察，抓住题中的不变量加以分析，就能使问题迎刃而解。
因为不管甲给乙多少粒糖，还是乙给甲多少粒糖，甲、乙两个小朋友共有糖粒的总数始终没有变化。甲给乙一定数量的糖后，甲的糖粒数就是乙的糖粒数的2倍，说明这时乙的糖粒数是总数的 ；乙给甲同样数量的糖后，甲的糖粒数就是乙的糖粒数的3倍，说明这时乙的糖粒数是总数的 ，相差 。
假设甲给乙1粒（至少为1粒），那么甲还有（甲-1）粒，如果乙给甲同样多的粒数，则甲有（甲+1）粒，“甲+1”与“甲-1”相差数为2， （粒）。
假设甲给乙2粒……那么“甲+2”与“甲-2”相差数为4， （粒）。
已知每袋糖不到20粒，则两人糖的总数不到40粒，显然48粒不符合题意，那么就说明甲、乙两个小朋友共有糖24粒
2.先比较再选择
题目：希望小学要买50个足球，现有甲、乙、丙三家商店可以选择。三家商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠方法不同。甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送；乙店：每个足球优惠5元；丙店：购物满100元返回现金20元。为了节省费用，希望小学应该到哪家商店购买呢？
分析与解：从问题出发，希望小学肯定应选择买50个足球所需费用最少的商店去购买，也就是要分别求出这三家商店优惠后的总价。
已知甲店买10个足球免费赠送2个，那么买20个免费赠送4个，买30个免费赠送6个，买40个免费赠送8个。40个加上赠送的8个共计（40+8）48个，而希望小学一共要买50个，还差2个，这2个得自己掏钱买了，也就是说希望小学如果去甲店购买的话，只需买42个，按每个25元计算，共需（25×42）1050元。
由于乙店每个足球优惠5元，也就是每个足球按20元的单价计算。所以，买50个足球共需（50×20）1000元。
由于丙店购物满100元返回现金20元，而不满100元这个优惠是不能享受的。买50个足球，每个25元，共计（50×25）1250元。1250元里有12个100，从优惠方案中可知，可以优惠（12×20）240元。也就是说希望小学去丙店购买的话，共需（1250－240）1010元。
从上可知，享受优惠后希望小学买50个足球的总价分别是：甲店需1050元，乙店需1000元，丙店需1010元。为了节省费用，希望小学当然要到花钱最少的商店去购买，即选择乙店，只需1000元。
3.巧 妙 变 换
数学练习课上，老师出了这样一道题目：“6.28×7.81＋37.2×0.781”，让同学们计算。
大家都全神贯注用竖式计算，不一会儿，小林说：“我做好了。”“你怎么算得这么快？”随着老师的问话，同学们放下了手中的笔，投去了怀疑的目光。“我是这样算的。”说罢他到黑板上写出了计算过程：
老师佩服地对小林说：“你真行，你怎么想到这样算的？”
小林说：“计算之前，我仔细观察了这道题中的数据，发现了”6.28×7.81”中的因数7.81与”37.2×0.781”中的因数0.781只是小数点的位置不同，根据积的变化规律可知，如果把”37.2×0.781”中两个因数的小数点移动一下，变换成”3.72×7.81”，积是不变的。变换之后就可以用乘法分配律进行简便计算了。”同学们受小林的启发，又想到了一种简便的算法。即：
看来在计算时，我们要注意观察算式中数据的特点，尽可能挖掘出隐藏着的简算因素，从而正确、迅速地进行计算
4.运用规律 化难为易
从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，那么这个圆的面积与原来正方形的面积之比是多少？周长之比呢？
设剪下的面积最大的圆的半径为r，则原正方形的边长就是2r。
由此可得：在一个正方形中剪下一个面积最大的圆，那么这个圆与原来正方形的面积之比、周长之比都是 。
运用这个规律，我们可以使一些题目的解答变得更加简便，更加容易。
例1. 从一块面积是36平方厘米的正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，这个圆形铁皮的面积是多少平方厘米？
分析与解：因为，
所以，这块圆形铁皮的面积＝原来正方形的面积
即 （平方厘米）
例2. 从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，已知这个圆的面积是25.12平方厘米，原来正方形铁皮的面积是多少平方厘米？
分析与解：因为，
所以，原来正方形的面积＝最大圆的面积
即 （平方厘米）
例3. 从一个周长是36厘米的正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，这块圆形铁皮的周长是多少厘米？
分析与解：因为，
所以，这块圆形铁皮的周长＝原来正方形铁皮的周长
即 （厘米）
例4. 从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，已知这个圆的周长是25.12厘米，原来正方形铁皮的周长是多少厘米？
分析与解：因为，
所以，原来正方形的周长＝最大圆的周长÷
即 （厘米）
想一想：从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆，剩下的铁皮面积占原来正方形面积的几分之几？没有告诉我们具体的数据，应该怎样解答呢
5.巧求“总和”妙解难题
数学竞赛中，有些题目初看不知从何处下手，但若能巧妙求出“总和”，问题就会迎刃而解。
例1. 三张卡片上分别写着三个互不相等的自然数。甲、乙、丙三人按以下规则做游戏：每人每次从袋里各拿出一张卡片，并走与卡片上的数相同的步数，然后一起把卡片放回袋里，开始第二个回合。在进行了n个这样的回合后，甲走了20步，乙走了10步，丙走了9步。如果在最后一个回合中，乙拿到的是写有最大数的那张卡片，这三个自然数分别是（ ）、（ ）和（ ）。（第一届“九章杯”中国小学生数学竞赛决赛试题第15题）
分析与解：先求出甲、乙、丙三人所走步数的总和，根据条件可知，这个总和为20＋10＋9＝39（步），然后再求他们进行了几个回合，因为每个回合他们三人步数的和都相等，因39＝1×39＝3×13，所以他们不可能进行了1个、13个或39个回合，所以他们只能是进行了3个回合，每个回合他们三人步数之和为13。
又因为乙在最后一个回合拿到的是写有最大数的那张卡片，而他走了10步，所以这三个自然数中最大的一个是8，且至少也为8，否则甲不可能达到20步。因此，这三个自然数只能是8、4、1或8、3、2。经试验，甲：8＋8＋4＝20，乙：1＋1＋8＝10，丙：4＋4＋1＝9，这三个自然数是8、4、1。
例2. 甲盒中有99个白球和100个黑球，乙盒中有足够多的黑球。现在每次从甲盒中任意取出两个球放在外面。如果两个球同色，则从乙盒中取出1个黑球放入甲盒；如果两个球异色，仍将其中的白球放回甲盒中。这样经过197次取放之后，甲盒中剩几个球？各是什么颜色？请说明理由。
分析与解：先求出经过197次取放后，甲盒中球数减少的“总和”。根据取放规则，取同色2球，放回1黑球，甲盒中每次少1个球。取异色球，放回1白球，甲盒中仍是每次少1个球。即甲盒中的球每取放1次减少1个，所以甲盒中球减少的“总和”是197个，则甲盒中只剩下99＋100－197＝2（个）球。
又因为甲盒中的白球只有在取出的2个球都是白色时才会减少，且白球总是成对减少，即甲盒中的白球始终保持奇数个。因此，取放197次后，甲盒中只有一黑一白两个球。
6.运用比的基本性质巧解题
同学们已经学过有关比的知识了，知道两个数相除又叫做两个数的比。比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。如a：b＝2a：2b，还有a：b＝（a÷2）：（b÷2）。也许同学们对比的基本性质已有所了解，但是否能运用比的基本性质解决一些实际问题呢？下面我们应用比的基本性质解两道应用题。
例1. 某次考试，甲、乙两同学的得分之比为5：4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的得分之比就是5：7，问：甲、乙两同学实际各得多少分？
分析与解：由题意可知，甲、乙两人的分数之和没有变化。所以可以将甲、乙两人实际得分总和看作5＋4＝9（份），变化后甲、乙两人得分看作5＋7＝12（份），份数之和发生了变化，这正是解题的障碍所在。若将9份与12份统一加以变化，这道题就迎刃而解了。因为9与12的最小公倍数是36，所以我们可以将甲、乙实际得分的比例和变化后甲、乙得分的比例按总份数为36份来变化。
5：4＝（5×4）：（4×4）＝20：16……总份数为20＋16＝36（份）
5：7＝（5×3）：（7×3）＝15：21……总份数为15＋21＝36（份）
这时它们的总份数相同，都是36份。由此可见，甲少得的22.5份，相当于甲少了20－15＝5（份）；乙多得的22.5分，相当于乙多了21－16＝5（份）。则原来甲得了（22.5÷5）×20＝90（分）；乙得了（22.5÷5）×16＝72（分）。
例2. A、B两种商品的价格之比是7：3，如果它们的价格分别上涨70元，则它们的价格之比是7：4。问：这两种商品原来的价格是多少元？
分析与解：因为A、B两种商品价格上涨的幅度相同，所以涨价前后两种商品价格之差仍保持不变。从7：3来看，两种商品的价格差为7－3＝4（份）；从7：4来看，它们的价格差为7－4＝3（份）。根据比的基本性质可得下列两个式子：
7：3＝（7×3）：（3×3）＝21：9……相差份数为21－9＝12（份）
7：4＝（7×4）：（4×4）＝28：16……相差份数为28－16＝12（份）
这时它们相差的份数相同，都是12份。由此可见，A商品的价格是从21份涨到了28份，也就是28－21＝7（份），相当于70元，所以A商品原来的价格是70÷7×21＝210（元），B商品原来的价格是70÷7×9＝90（元）。
7.巧妙“割补”化难为易
在计算平面图形的面积时，经常会遇到一些比较复杂的组合图形，若能巧妙地将这些图形进行割补转化，往往能化难为易。
例1. 如下图，大、小正方形的边长之和为20厘米，面积之差为40平方厘米，求大、小正方形的边长各是多少厘米？
分析与解：根据题意，对上图进行分割（如图1），由已知条件可得A、B、C三块阴影部分的面积之和是40平方厘米，再将图1转化为图2，则可求得阴影部分长方形的宽为40÷20＝2（厘米）。
图1 图2
所以，小正方形的边长为（20－2）÷2＝9（厘米）；大正方形的边长为9＋2＝11（厘米）。
例2. 一个正方形，如果一条边增加6厘米，另一条边增加2厘米，所得的长方形的面积就比原正方形的面积多92平方厘米，求原正方形的边长。
分析与解：根据题意可作出上图。正方形边长变化后，增加的部分可分成A、B、C三个部分，其中C的面积是6×2＝12（平方厘米），则A、B的面积之和为92－12＝80（平方厘米），A和B各有一条边长正好是原正方形的边长，因而A和B可以拼成一个宽为2＋6＝8（厘米）的长方形（如下图）。因这个长方形的面积为80平方厘米，宽为8厘米，所以可得原正方形的边长为（92－6×2）÷（6＋2）＝80÷8＝10（厘米）。
例3. 一个正方形的一条边增加6厘米，另一条边减少2厘米，所得长方形的面积比原正方形的面积多68平方厘米，求原正方形的边长。
分析与解：根据题意可作出下图。
图中阴影部分B为增加的面积，阴影部分A为减少的面积，由已知条件可得B的面积比A的多68平方厘米。补上面积C，C的面积为6×2＝12（平方厘米），则B和C的面积之和比A的面积多68＋12＝80（平方厘米）。因B和C所组成的长方形的长是原正方形的边长，A所在长方形的长也是原正方形的边长，所以通过拼割可以作出下图。
从上图中可以看出，80平方厘米是以原正方形边长为长，以6－2＝4（厘米）为宽的长方形的面积。从而可求出原正方形边长为：
（68＋6×2）÷（6－2）
＝80÷4
＝20（厘米）
综上所述，可知在解答这类图形题时，应紧紧抓住图形的特点，从题中所给的已知条件出发，割拼结合，巧妙拼补，这样才能清晰地凸现它们之间的关系，达到化难为易、化繁为简的解题目的。
8.数形结合 巧解难题
题目 上体育课时，同学们站好队，一至二报数，然后让报一的学生退出队列；再一至二报数，同样也让报一的学生退出队列；但从第三次开始，每次报数后，一律让报二的学生退出队列，……直到最后剩下一个人为止，问最后剩下的一个人最初排在队列的第几位？
分析与解：初看这道题，感觉很复杂，没有思路，但只要运用数形结合的方法，就很容易得出答案。方法如下：用圆圈代表学生（不妨以19人为例），第一次报数后出现的情况如图1所示，第二次报数后出现的情况如图2所示，第三次报数后出现的情况如图3所示，第四次报数后出现的情况如图4所示。
至此，就得到了答案：最后剩下的一个人最初排在队列的第4位（值得注意的是：从纯数学的角度考虑，本题应再加一个条件“上课的学生人数不少于4人”，但联系实际情况，无此条件也是可以的）。
进一步研究就会发现：只要总人数不少于4人，最后剩下的一个人最初都是排在第4位。为什么会有这样的规律呢？与哪些条件有关呢？我试着把条件“让报一的学生退出队列”的次数改为3次，其余条件不变，结果就发生了变化，最后剩下的一个人最初排在队列的第8位。换了假定的人数，结果依然相同。我又一次调整这一条件出现的次数，让它出现4次，其余条件还是不变，则最后剩下的那一个人最初排在队列的第16位。最后我得出的结论是：已知条件“让报一的学生退出队列”出现的次数与问题“最后剩下的一个人最初排在队列的第几位？”关系密切。假如把已知条件“让报一的学生退出队列”出现的次数设为n，那么最后剩下的一个人最初就排在队列的第2n位。本题中这一条件出现2次，则剩下的一个人最初排在队列的第22＝4（位）；出现3次，剩下的一个人最初就应排在队列的第23＝8（位）。
下面，请你也来试一试：
当报一的这一条件出现5次，其余条件不变时，最后剩下的一个人最初应排在队列的第几位呢？
9.挖掘题目内涵 拓宽解题思路
有些应用题，通过挖掘题目内涵，就能拓宽解题思路，寻求多解，并有利于提高学生的思维水平和解题能力。
〔题目〕某通讯员骑摩托车从甲地往乙地发送文件，到达乙地后立即返回，往返共用去2小时。已知去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米，求甲、乙两地相距多少千米。
〔分析与解〕此题可用八种策略解答：
策略一：等价变换
此题的已知条件与问题很难直接建立数量关系，若将已知条件进行等价变换，问题就容易解决了。已知条件可等价变换为：去时行1千米要用 小时，返回时行1千米要用 小时。据此，往返各行1千米一共要用 （小时），又因为这位通讯员往返共用去2小时，由此就可求出甲、乙两地的路程为： （千米）。
策略二：引量过渡
对问题提出假设性答案，为解题“搭桥”。假设两地的路程为90千米（45和30的最小公倍数），则去时要用90÷45＝2（小时），返回时要用90÷30＝3（小时），往返共用5小时。而题目中告诉我们往返共用去了2小时，即5小时的 ，所以甲、乙两地的实际路程是90千米的 ，即 （千米）。
策略三：增设参数
将某个未知数量用字母表示，直接参与计算。如用字母“t”表示去时所用的时间，则甲、乙两地的路程可表示为45t，返回时所用的时间可表示为 。由通讯员往返一次所行的总路程45t×2＝90t与所用的总时间 ，可求得通讯员往返的平均速度为： ，进而可求出甲、乙两地相距的路程为：36×2÷2＝36（千米）。
策略四：横向联系
通过横向联系，从“比和按比例分配”的角度入手。根据“去时和返回时的速度之比为45∶30＝3∶2”，可知“行同样的路程，去时和返回时所用的时间之比为2∶3”，用按比例分配的方法即可求出去时所用的时间为： （小时），进而可求出甲、乙两地的路程为：45×0.8＝36（千米）。
策略五：确定单位
把题目中涉及到的某个数量设为单位“1”，根据数量关系可进一步分析求解。如把返回时所用的时间设为单位“1”，则甲、乙两地的路程为30×1＝30，去时所用的时间为 ，由此可求出返回时所用的时间为 （小时），进而可求出甲、乙两地相距的路程为：30×1.2＝36（千米）。
策略六：变式转换
根据“返回时所用的时间＝2小时－去时所用的时间”可以列出等式：45×去时所用的时间＝30×（2－去时所用的时间），然后通过去括号、移项可得：45×去时所用的时间＋30×去时所用的时间＝30×2，由此可以求出去时所用的时间为：30×2÷（45＋30）＝0.8（小时），进而可求出两地的路程为：45×0.8＝36（千米）。
策略七：据理估算
由“去时的速度是返回时速度的45÷30＝ 倍”可知，去时所用的时间小于1小时，返回时所用的时间大于1小时，所以可将去时所用的时间估算为0.9小时，返回时所用的时间估算为1.1小时，则去时的速度是返回时速度的 倍，这说明我们估算的去时所用的时间偏大了，返回时所用的时间偏小了，可试着调整为：去时所用的时间为0.8小时，返回时所用的时间为1.2小时，则去时的速度是返回时速度的 倍，符合题目条件，故调整后的估算正确，因此，甲、乙两地相距的路程为：45×0.8＝36（千米），或30×1.2＝36（千米）。
策略八：特殊假设
假设去时用2小时，返回时用0小时，则可推出“去时路程－返回路程＝45×2－30×0＝90千米”，为什么会有路程差呢？这是因为去时路程被看成“45×2”，多了“45×返回时所用的时间”；而“返回路程”被看成“30×0”，少了“30×返回时所用的时间”，也就是说，被减数多了“45×返回时所用的时间”，减数少了“30×返回时所用的时间”，差就多了90千米，所以，45×返回时所用的时间＋30×返回时所用的时间＝90千米，由上式即可求出返回时所用的时间为：90÷（45＋30）＝1.2（小时），进而可求出甲、乙两地的路程为：30×1.2＝36（千米）。
10.先估算 再确定
三个连续正整数，如果中间一个是完全平方数，那么这样的三个连续正整数的积被称为“美妙数”。问所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？（全国第九届“华罗庚金杯”赛暨南通市“华杯”赛六年级试题）
〔一般解法〕
根据题意，符合条件的三个连续正整数的积要小于2008，我们不妨先估算这三个连续正整数的范围。因为“美妙数”要求三个连续正整数中间的一个数是完全平方数，所以由8×9×10＝720和15×16×17＝4080可知中间一个数的完全平方数肯定不大于9，也就是说符合条件 三个连续正整数只有3、4、5和8、9、10两组。综合以上分析，小于2008的“美妙数”为3×4×5＝60和8×9×10＝720。因60与720的最大公约数为60，所以所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是60。
〔巧妙解法〕
根据题意，很容易找出最小的“美妙数”为3×4×5＝60，所以符合条件的三个连续正整数中必定有一个数是3的倍数，其中也必定有一个是偶数，且这个偶数也一定是4的倍数。又因为三个连续正整数中间一个要求是完全平方数，所以完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9，末位数字是0和5的数字又一定是5的倍数，与末位数字为1、4、6、9相邻的正整数中，一定有一个正整数是5的倍数，因此，“美妙数”一定是3、4、5的公倍数，即“美妙数”一定是3×4×5＝60的倍数。而最小的“美妙数”是60，因此这些“美妙数”的最大公约数也一定是60。
11. 拆拆合合，神机妙算
小朋友，下面几道题我一会儿就做了出来，你一定认为我用了计算器才算得那么快的。其实不是这样的，看，我拆拆合合，就可以神机妙算。
（1）7227÷73
我是这样想的：7227比7300少了1个73，而7300里有100个73，所以7227里就有99个73。
（2）99×99＋199
我是这样想的：先从199里拿1个99出来，与99×99合起来就有100个99相加了。再加上剩下的100，实际上就是100个100相加。
（3）80000÷125÷2÷5÷8
我是这样想的：把80000缩小125倍，再缩小8倍，实际上是缩小了1000倍，接着又缩小2倍，缩小5倍，即又缩小了10倍。
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