Question

高一数学不等式的一个问题

若不等式x^2-2ax+a^2-a>0，当x属于【0，1】时恒成立，求a的取值范围

Answer 1

令函数f(x)=x^2-2ax+a^2-a
要满足f(x)在x∈[0,1]上恒大于零
因为二次项系数=1＞0，即开口向上
则，只需要满足：f(0)＞0且f(1)＞0即可
由f(0)＞0得到：a^2-a＞0
所以，a＞1，或者a＜0…………………………………………（1）
由f(1)＞0得到：1-2a+a^2-a＞0
即，a^2-3a+1＞0
所以，a＞(3+√5)/2，或者a＜(3-√5)/2……………………（2）
联立(1)(2)得到：
a＜0，或者a＞(3+√5)/2

Answer 2

1. 先分析判别式=4a^2-4(a^2-a)=4a
2. 就判别式进行讨论解题。当判别式大于0即a小于0时方程x^2-2ax+a^2-a=0与x轴无交点函数f(x)=x^2-2ax+a^2-a的图像在x轴的上方。x^2-2ax+a^2-a>0,在R上恒成立。当然在[0,1]上恒成立。当a=0时不等式变为x^2>0 其在[0,1]上不是恒成立。当a>0时 当x∈[0,1]时函数的图像必在x轴的上方。故f(0)>0 且f(1)>0解得a>0.5(3+根号下5）
综上知a的范围是a<0或a>0.5(3+根号下5）

Answer 3

设f(x)=x^2-2ax+a^2-a=(x-a)^2-a
开口向上,对称轴是x=a.
(1)对称轴x=a<0时,f(0)=a^2-a>=0,解得:a<0
(2)0<=a<=1时,f(a)=-a>0,无解.
(3)对称轴x=a>1时,f(1)=1-2a+a^2-a=a^2-3a+1>=0
解得:a>=(3+根号5)/2或a<=(3-根号5)/2.(舍)
综上所述,a<0或a>=(3+根号5)/2

Answer 4

a大于2