Question

关于函数凹凸性的一道证明题

任取x1,x2属于D,任取a属于(0,1)
如果总有f[(1-a)x1+ax2]<(1-a)f(x1)+af(x2),则f(x)在D内是凹的
如果总有f[(1-a)x1+ax2]>(1-a)f(x1)+af(x2),则f(x)在D内是凸的
上面是我在辅导书上看到的关于函数凹凸性的一个定义。但是我总是理解不了，谁能证明它，并且说一下它的几何意义（比如函数是凹的，那么任何一点的切线总在函数图像下面）

Answer 1

上面这种形式可能是你看不懂,

哥变一下你就看得懂了

f[(1-a)x1+ax2]=f[x1+a(x2-x1)]

  x1,x2分别为X轴上两点,x2-x1表示两点之间距离,a(x2-x1)表示此距离的a倍,记住a属于(0,1),所以a(x2-x1)表示此距离的一部分,x1+a(x2-x1)则表示从x1右移a(x2-x1),显然当a=0时 x1+a(x2-x1)=x1即移了0,位置还是x1,

               当a=1时 x1+a(x2-x1)=x2即移了(x2-x1),位置当然变为了x2

        当a属于(0,1)时,x1+a(x2-x1),其实就表示X轴上,介于x1,x2之间的点

那么f[x1+a(x2-x1)]就表示x1,x2之间的某点x1+a(x2-x1)所对对应的f(x)

(哎,这么简单的意思,哥唠叨了这么久,不知你糊涂没,我是糊涂了)

(1-a)f(x1)+af(x2)=f(x1)+a[f(x2)-f(x1)]  

f(x1)表示x1对应的f(x),可图上画出此点A

f(x2)表示x2对应的f(x),可图上画出此点B

连接AB得一线段

[f(x2)-f(x1)] 表示B点比A点高出的距离即BC

a[f(x2)-f(x1)] 表示BC的a倍 如图CD

f(x1)+a[f(x2)-f(x1)]表示CN+CD=DN即为PQ即P点的纵坐标

f[(1-a)x1+ax2]<(1-a)f(x1)+af(x2)即表示图上的E在P下面

所以f(x)在D内是凹的

同理可证第二问

晕啊,  用了这么多废话不知道说清楚没

Answer 2

http://baike.baidu.com/view/1753794.htm
我不懂 但我会百度