Question

若关于x的方程2^2x+2^xa+a+1=0有实根，试求a的取值范围。

答案是a≤2-2√2

Answer 1

（2^x+a/2)^2=(a/2-1)^2-2

2^x>0,所以（2^x+a/2)^2=(a/2-1)^2-2 >（a/2)^2

得-a+1-2>0,得a<-1

detla=a^2-4a-4>=0,得a>=2+2√2或a<=2-2√2

当a=-1时，2^2x-2^x=0,x=0,有实数解，

综合后得a≤-1

Answer 2

设2^x=t,可得a=(-t^2-1)/(t+1)

设f(x)=(-t^2-1)/(t+1),则f'(x)=(-t^2-2t+1)/(t+1)^2,有两个极值点，
因为t>0,所以只有一个极值点t=2^1/2-1,是极大值，也是f(x)的最大值
所以a<=f(2^1/2-1)，所以a小于等于 2-2根2