Question

一道数学综合题

已知如图，在△ABC中、AB=AC,D是边BC延长线上一点。E是边AC上一点。如果∠EBC=
∠D,BC=4.cos∠ABC=1/3
(1)求证：CE/AB=BC/BD（已证出，解答时不必作答）
（2）如果S1,S2分别表示△BCE.△ABD的面积，求S1×S2的值
（3）当∠AEB=∠ACD时，求△ACD的面积
只需解决二，三小题即可
谢谢！

Answer 1

1）AB=AC→ ∠ABC=∠BCE  

   又因为∠EBC=∠D  →△BCE∽△ABD →CE/AB=BC/BD

2） 分别做△BCE和△ABD的高线BG和DF 

  ∵△BCE∽△ABD 

  ∴DF/AB=BG/CE →DF=AB*BG/CE  ---------（a）

  S1*S2=1/2 *AB*DF* 1/2* CE*BG,将结论（a）代入

  得S1*S2=1/4 *AB²*BG²

  AB=（BC/2）/cos∠ABC=（4/2）/（1/3）=6

 BG² =（1-cos²∠ACB）*BC=32/9

  S1*S2=1/4 *AB²*BG²=1/4 *6²*32/9=32

3）当∠AEB=∠ACD时，∠BEC=∠ACB，→△BCE为等腰三角形。∵ △BCE∽△ABD， ∴△ABD为等腰三角形

△ABD∽△ABC

∴S△ABD=S△ABC *（AB/BC）²=4/9 *S△ABC 

S△ACD=S△ABD-S△ABC=5/9 *S△ABC =5/9 *1/2 *4**6√（1-cos²∠ACB）=（40/9 ）√2