Question

一道高一物理题

在倾角为α=30度的光滑斜面顶点处固定一原长L0=0.2m的轻弹簧，弹簧另一端与放在光滑斜面体上质量m=2kg的物体C相连后，弹簧长度变为L1=0.25m。当斜面连同物体C一起绕竖直轴AB转动时，求：
（1）转速n=60r/min时弹簧的长度是多少？
（2）转速为多少时，物体C对斜面无压力？（g取10m/s^2）
请详细讲解

Answer 1

解：由题意，首先计算弹簧倔强系数，F=kx，k=F/x,由图可知，F=G*sin30=2*10/2=10N，x=L1-L=0.25-0.2=0.05m,则k=10/0.05=200N/m；

(1)设此时弹簧长度为L2，角速度w=n*2π=60r/min*2π=1r/s*2π=2π rad/s,则此时向心力F2=mw^2*r=mw^2*L2*cos30=mw^2*L2*√3/2=2*4π^2*L2*√3/2=4π^2*L2*√3 N,向心力是弹簧拉力增量的分力，F2=Ft*cos30=k*x2*cos30，(Ft弹簧增力，x2弹簧伸长量)，又L2=L1+x2，方程联立，k*x2*cos30=4π^2*√3*(L1+x2),则x2=4π^2*L1/(k*cos30-4π^2*√3)=4π^2*0.25/(200*cos30-4π^2*√3)=0.094m

则L2=0.25+0.094=0.344m,即转速n=60r/min时弹簧的长度是0.344m；

(2)由题意受力分析，此时物体C只受弹簧拉力和重力，弹簧拉力的水平分力提供离心力，弹簧拉力的竖直分力与重力平衡，从而离心力和重力的关系为F0=G*cot30=√3*G=2*10*√3 N，弹簧拉力Ft0=2G=40 N，弹簧长度为L0=40/200+0.25=0.45m,转动半径为r0=L0*cos30，F0=mw0^2*r0=m*L0*cos30*w0^2，从而m*L0*cos30*w0^2=2*10*√3，
w0^2=20/0.45=40/9,w0=20/3=6.67r/s=400.2r/min

即转速为400.2r/min时，物体C对斜面无压力。

Answer 2

如图 最后那个的单位是：rad/s，不是r/min。

Answer 3

在倾角为α=30度的光滑斜面顶点处固定一原长L0=0.2m的轻弹簧，弹簧另一端与放在光滑斜面体上质量m=2kg的物体C相连后，弹簧长度变为L1=0.25m。当斜面连同物体C一起绕竖直轴AB转动时，求：
（1）转速n=60r/min时弹簧的长度是多少？

解：由胡克定律F=kx，可得弹簧的劲度系数，k=F/x，根据题意可得，

mgsin30=k×x 那么k=2×10×1/2÷(0.25-0.2)=200N/m

当斜面连同物体C一起绕竖直轴AB转动时，物体在做以弹簧长度为半径的

匀速圆周运动，设此时的弹簧长度是L,对于该物体，由牛顿第二定律得

k(L-L0)-mgsinα=mv²/L

代入数据得，200×（L-0.2)-10=2/L

解得 L=0.28（m）

那么当转速n=60r/min时弹簧的长度是0.28米 。

（2）转速为多少时，物体C对斜面无压力？（g取10m/s^2）

解：物体C对斜面无压力时，设弹簧拉力为F，则有Fsinα=mg ,解得F=40

那么物体在水平方向做匀速圆周运动，设此时物体的转速为v

由牛顿第二定律得mv²/R=Fcosα ,代入数值得

2v²/R=20√3=34.6 ........................(1)

由胡克定律得：K(R/cos30-0.2)=F,代入数值得

200×（2R/√3-0.2)=40 ....................(2)

由(1)(2)得 R=0.346

V=2.45 (r/s)

那么当转速为2.45r/s时，物体C对斜面无压力。