Question

高中数学正弦定理（一道题）

在△ABC中，设BC=a,AB=c,CA=b,若（b+a）/a=sinB/（sinB-sinA）,cos2C+cosC=1-cos(A-B).试判断△ABC形状。

Answer 1

直角三角形
因为a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以
（b+a）/a=sinB/（sinB-sinA）
1+b/a=sinB/(sinB-sinA)
1+sinB/sinA=sinB/(sinB-sinA)
(sinA+sinB)/sinA=sinB/(sinB-sinA)
sinAsinB=(sinB)^2-(sinA)^2。。。。。。。（1）
又
cos2C+cosC=1-cos(A-B)
cos2C=1+cos(A+B)-cos(A-B)
cos2C=1-2sinAsinB
因为（1）
所以cos2C=1-2(sinB)^2+2(sinA)^2
2(cosC)^2-1=1-2(sinB)^2+2(sinA)^2
(cosC)^2=1-(sinB)^2+(sinA)^2
1-(sinC)^2=1-(sinB)^2+(sinA)^2
(sinB)^2=(sinC)^2+(sinA)^2 。。。。。。。。。（2）
又由a/sinA=b/sinB=c/sinC得a^2/(sinA)^2=b^2/(sinB)^2=c^2/(sinC)^2
b^2/(sinB)^2=(a^2+c^2)/[(sinA)^2+(sinC)^2]
因为（2）所以b^2=a^2+c^2
所以是直角三角形

Answer 2

顶角是钝角的等腰三角形。