Question

问一个有关高数微分方程求解的问题，请高手解答，谢谢！！

我们知道微分方程解答中经常碰到(dy/y)=(dx/x)的结果然后积分出现ln|y|=ln|x|+C1进一步化为|y|=e^C1 |x|最后化为y=Cx (C=±e^C1 ），然而很多练习题的解答并不是这样的，感觉那些解答都不需要考虑绝对值似的，这是为什么呢？
举个例子吧：
微分方程y''+(y')^2 =0的通解是__________.
这道题的答案为：y=ln(x+C1)+C2.
而我算出来的写为：y=ln|x+C1|+C2.因为我考虑到绝对值问题，但答案没有绝对值，很困惑。包括很多练习题解答都直接跳过绝对值这个不写直接得出后面的过程，纳闷。请高手解答，万分感谢！
首先谢谢三楼这位兄弟的回答，y=ln(x+C1)+C2与y=ln|x+C1|+C2的定义域不一样吧？所以我才问这个问题的啊

Answer 1

你想一下其实加不加绝对值，其实问题不是很大，或者说不怎么必要，只要x能取遍所有实数，y也能同样取遍所有的，主要是因为有一个任意的常数在起到调节作用！它可以起到平衡的作用！ 如果就你的第一题|y|=e^C1 |x| 如果y没有绝对值的话，那最后答案肯定就不能去掉x的绝对值的！ 同样第二题，其实当你写出答案，y=ln(x+C1)+C2.时候就已经默认(x+C1）>0 加不加绝对值意义不大的！ 可能觉得有些模糊，没有说清楚，仅供参考吧！
实在不行，以后做题目的时候，你还是按照现在的方法做，然后写答案的时候，看一下是否能去掉绝对值
？（只用判断如果去掉绝对值，x的取值与y的取值范围是否变化了？如果没有变化，就可以去啊，，判断很简单的，只用看它们的范围）

Answer 2

举一个例子，方程dy/y=dx/x按原来的解法是：
两边积分：ln|y|=ln|x|+C1（这作为方程的通解已经是对的了，不过其形式不够漂亮）
如果我们希望得到显式解，则
|y|=e^[ln|x|+C1]=e^ln|x|*e^C1 ==> y=(±e^C1)*|x|=±(±e^C1)*x
由于C1是任意实数，所以e^C1是任意正实数，±(±e^C1)则是任意的非零实数，我们把它记作C，于是得到这个方程的显式的通解：y=Cx
怪麻烦的吧？由于这种方程经常遇到，每次这样写确实感到麻烦，因此在解微分方程时，如果积分以后得到的函数里有对数函数的项，我们就使用下面的简洁写法：
两边积分：lny=lnx+lnC=ln(Cx)（把绝对值符号省略不写了，任意常数也不是加C，而是加lnC，但这并不意味着x，y，C只能取正值，当然这个式子作为方程的通解是不行的，因为人家看到这个式子，自然会认为y只能取正值的，所以用这种简洁写法，下面的步骤是必须的，即两边同时去掉最外层的“ln”号）
所以最后的通解是：y=Cx
你看，这样写只有两步，简洁多了，并且结果是一样的。
千万记住，最后一步是不可以省略的，否则求得的解就会少了很多。

Answer 3

正确的答案应该是楼主你的解！

其实应该是要包括绝对值的，因为微分方程在解的时候我们需要扩大他解的范围，这是因为在解方程的时候会有漏根现象发生。为了补偿这一点，往往通解的范围要尽量扩大。

如果在考试的时候你不放心自己的解是否正确，你可以将解重新带回方程进行验算！

Answer 4

孩子，你高数还是没学透，好好看看函数的定义域那一块，绝对值也是起到限制x的范围，是补充的定义域，如果函数本身的定义域可以限制，就没必要加绝对值了，教材的答案有可能是错的，但是很少