Question

随机变量X与Y不相关是D（X+Y）=DX+DY成立的充要条件，求证！

如题：随机变量X与Y不相关是D（X+Y）=DX+DY成立的充要条件，求证！

Answer 1

由于D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov(x,y），根du据D(X+Y)=D(X)+D(Y)，可推出Cov(x,y)=0 ，根据相关系数的定义，可以知道相关系数是0，所以x,y不相关。

反之如果XY不相关，则相关系数必然为0，而相关系数=Cov（x，y）/[D(X)D(Y)]^(-2),易知分母不能为0，所以Cov(x,y)=0，进而推出 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 。

扩展资料

1、设C是常数，则D（C）=0

2、设X是随机变量，C是常数，则有

3、设 X 与 Y 是两个随机变量，则

其中协方差

特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则

此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。

Answer 2

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
等式成立当且仅当协方差为0
协方差为0就意味着不相关呗