Question

线性代数对角化问题：

A为正定阵，B为实对称阵，证明：一定存在可逆矩阵T使得A和B都可以通过T做合同变换成为对角阵。

Answer 1

已知A是n阶矩阵，A的平方=A，
问A是否可以相似对角化，说明理由。
举一个例子：a11=1,其余aij=0,是否可以对角化？
判断一：A的第一行（1，0，0）A的第二行（0，1，0），B=A'（A的转置），AB=二阶单位矩阵。错
判断二：若A，B是同阶可逆矩阵，则AB与BA相似（A^(-1)ABA=BA）,相似矩阵有相同的特征值。对

Answer 2

（A'表示A的转置矩阵）
由于A是正定矩阵，A与E合同，故一定存在可逆矩阵C，使C'AC = E。因为C'BC是实对称矩阵，经正交变换可化为对角形，故一定存在正交矩阵D，使D'(C'BC)D为对角阵。
所以，设T = CD，则T可逆，T'AT = D'(C'AC)D = D'D = E，T'BT = D'(C'BC)D为对角阵。
得证。
注：(1)C'BC是实对称矩阵，因为(C'BC)' = C'B'C'' = C'BC。
(2)T可逆，因为|T| = |CD| = |C||D|不等于0。