Question

已知f(x)=(x^4+kx^2+1)/(x^4+x^2+1)(k是实常数)，则 f(x)的最大值与最小值的乘积为？

怎么做，请在给出答案的同时附上过程解析.

Answer 1

f(x)=(x^4+kx^2+1)/(x^4+x^2+1)=1+[(k-1)x^2/(x^4+x^2+1)]
=1+[(k-1)/(x^2+(1/x^2)+1)]
当k>1时，(x^2+(1/x^2)+1)>=2√(x^2*(1/x^2))+1=3,
所以f(x)<=1+(k-1)/3=(k+2)/3, 所以最大值为(k+2)/3。
当(x^2+(1/x^2)+1)=+无穷时，f(x)>1, 所以最小值为1。
乘积为(k+2)/3.

同理,k<1时，最小值为(k+2)/3，最大值为1。
乘积为(k+2)/3。

k=1时候，f(x)=1. 乘积为(k+2)/3=1

综上，乘积为(k+2)/3。