Question

线性代数 n阶矩阵A有n个互不相同的特征值时，对应于每个特征值必有一个特征向量吗

那么这个A必可相似对角化吗 且每个特征向量线性无关吗
能说一下是为什么吗 有点不敢相信

Answer 1

1. 是的

对每个特征值a, |A-aE|=0, 故 (A-aE)x=0 有非零解, 而非零解就是A的属于特征值a的特征向量.

知识点: k重特征值至多有k个线性无关的特征向量

所以n个互不相同的特征值(都是单重特征值)恰有一个线性无关的特征向量

2. 知识点: A的属于不同特征值的特征向量线性无关

所以A的n个互不相同的特征值对应的n个特征向量 线性无关

注意:不是每个线性无关

而A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 (定理)

所以这个A可相似对角化.

Answer 2

每一问都是正确的，完全正确！
你可以看线性代数中关于矩阵相似对角化的相关定理就能找到。

Answer 3

是的啊