Question

一道初三数学题。

西安世园会举办各种水上节目表演，游客可品味杨柳岸晓风残月，体验古人折柳灞上，赋诗送别的情景。‘水上摩托’在正方形水潭沿对角线滑行表演，游客在潭边自由观看。
（1）在正方形ABCD水潭中，如图1，若‘水上摩托’在P点时，试在正方形ABCD边上确定两点（在图上画出），使站在这两点的游客与点P距离相等；
（2）有位游客认为，若∠BPE=90°，如图2，站在B，E两点的游客与点P距离相等（即PE=PB），你同意他的说法吗？试说明理由；
（3）若正方形ABCD边长为1，‘水上摩托’滑行至某点P，此时在CD边上是否存在点E，使得PB=PE，且四边形PBCE水域面积为正方形ABCD面积的四分之三，若存在，试求点E到C点的距离。

第三问咋做？

Answer 1

（1）正方形的两边关于对角线AC对称，如连接PB、PD，过P做BC边和CD边垂线交AD、BC和AB、CD的点等；
（2）同意，连接BE，∠BPE=90°，四边形PBCE对角互补共圆，∠PCE=∠PBE=∠PCB=∠PEB=45°，△PBE为等腰直角△，PB=PE；
（3）四边形PBCE面积=S△PBE+S△BCE=(1+EC²)/4+EC/2，1/4+EC²/4+EC/2=3/4，(EC+1)²=3，EC=√3-1。

追问

S△PBE 为什么 等于 (1+EC²)/4 ？
S△BCE 为什么 等于 EC/2 ？
我才初三看不懂。。

追答

BE=√(1+EC²)，PB=PE=√[2(1+EC²)]/2， S△PBE=PB*PE/2=(1+EC²)/4，S△BCE=BC*EC/2=EC/2