三道幂级数展开式的高数题∑(-1)^n/(2n+1)*3^n
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3. 记
f(x) = ∑(n≥1)[(-1)^n][x^(2n+1)/(2n+1)]，
则有
f'(x) = ∑(n≥1)[(-1)^n][x^(2n)] = ∑(n≥1)[(-x²)^n] = 1/(1+x²) - 1，|x|<1，
于是，
f(x) = ∫[0,x]f'(t)dt
= ∫[0,x][1/(1+t²) - 1]dt
= arctanx-x，-1<x≤1。
因此
∑(n≥1){[(-1)^n]/[(2n+1)(3^n)]}
= (√3)∑(n≥1)[(-1)^n][(1/√3)^(2n+1)/(2n+1)]
= (√3)f(1/√3)
= ……。
f(x) = ∑(n≥1)[(-1)^n][x^(2n+1)/(2n+1)]，
则有
f'(x) = ∑(n≥1)[(-1)^n][x^(2n)] = ∑(n≥1)[(-x²)^n] = 1/(1+x²) - 1，|x|<1，
于是，
f(x) = ∫[0,x]f'(t)dt
= ∫[0,x][1/(1+t²) - 1]dt
= arctanx-x，-1<x≤1。
因此
∑(n≥1){[(-1)^n]/[(2n+1)(3^n)]}
= (√3)∑(n≥1)[(-1)^n][(1/√3)^(2n+1)/(2n+1)]
= (√3)f(1/√3)
= ……。
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