Question

紧集是不是有界闭集

Answer 1

紧集具有有限开覆盖性质，即对它的任一个开集覆盖有一个有限的子覆盖，由此可知紧集一定有界。

紧集是指拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。从某种意义上，紧集类似于闭集。

相关信息：

闭集还有另外一个定义。如果一个集合包含它所有的边界点，那么这个集合叫做闭集。若以A来表示A的边界点，那么：如果AA，那么A是闭集。

两个定义是等价的，这是因为设∂A⊆A，假设A不是闭集，则说明A的某些极限点不属于A。而极限点要么是A的内点，要么是A的边界点，因为A的内点一定属于A，所以那些不属于A的极限点不可能是内点，因此必然是边界点。但这和∂A⊆A矛盾。

Answer 2

紧集具有有限开覆盖性质，即对它的任一个开集覆盖有一个有限的子覆盖，由此可知紧集一定有界。在Hausdorff空间中紧集一定是闭集，在非Hausdorff空间中紧集不一定是闭集。不过，对不是专门研究数学的人来说，接触的都是Hausdorff空间，比如实数轴R就是一个Hausdorff空间。