Question

一道很经典的逻辑推理题帮忙解答：《抓豆子》

5个囚犯，分别按1~5号在装有100颗绿豆的麻袋中抓绿豆，规定每人至少抓一颗，而抓得最多和抓得最少的人将被处死，而且，他们之间不能交流，但在抓的时候，可以摸出剩下的豆子数。问他们中谁的存活概率最大？ 提示： （1）他们都是很聪明的人; （2）他们的原则是先求保命，再去多杀人； （3）100颗不必都分完； （4）若有重复的情况，无论大小，一并处死。 （乃位高手能帮忙解答一下，要有推理过程和答案，谢谢！）

Answer 1

每个人拿的个数必须大于等于2,否则就是死
所以，1号最多敢拿50-2*4=42颗，但这也是死，因为2号就拿41颗，剩下17颗，1号也是死。

所以1号必须让拿了N颗后，再让2号拿后，还剩很多。那么我们把100颗分为5份。

如果1号拿21颗，2号就拿20颗，剩下59颗，肯定有一个人拿的少于20颗，所以1号拿21颗死定。

再看1号拿20颗，2号拿21颗的话，剩下也是59颗，可以是20+20+19，2号死定。

那么，看2号拿20颗，剩下60颗，3号如果拿21颗，剩下39颗，可以是20+19，3号死定。

所以，接着看3号拿20颗，剩下40颗，那么，4号怎么拿也是死！而且和5号一起死！要不就全部一起死（都拿20颗）

3号当然怕同归于尽啊，因为4号5号心想怎么也是个死，不如弄死全部。

所以看3号拿19颗，剩下41颗，可以是20+20，20+19。20+21，不管怎么，3号都死定了。

所以，3号只敢拿20颗。因为可以活不成也弄个全体一起死.

那么，4号也同样怕全部20颗的情况，所以，而21颗不能拿，所以，他拿19颗。

剩下61颗，可以是20+20+19，20+20+20，20+20+21，他怎么也是个死！

所以，4号没得选择，只能拿20颗。至少可以弄得个全部拿20颗一起同归于尽.

同理！5号也只能拿20颗！

这样下去，1-5号都拿20颗，同归于尽！

因为:任何一个人，拿21个以上或者19个以下(包括)就是单独死或者只死几个.

所以。。答案是：“同归于尽”[/

Answer 2

5个囚犯的策略

由题设条件可知：摸到最大绿豆数的囚犯必死，摸到最小绿豆数的囚犯必死，摸到重复绿豆数的囚犯必死。
整体来看，至少有两个囚犯必死。绿豆数为5时，2个囚犯必死(11111)。绿豆数为4时，3-4个囚犯必死(1211，2111)。绿豆数为3时，4-5个囚犯必死(131，311，221，212)。绿豆数为2、1时，5个囚犯必死。
5个囚犯的策略应该是：5个囚犯必须使摸到的绿豆数不重复，这样才会有最多存活机会；又必须使自己摸到的绿豆数居中，才会有最大存活机会。
明确了这一点，就可以往下分析了。

具体分析求机率

设1号囚犯摸到的绿豆数为N。
则2号囚犯摸到的绿豆数为N+1或N-1。因为2号囚犯可以通过摸剩余绿豆的方法得知1号囚犯摸到的绿豆数,2号囚犯摸到的绿豆数为N的话就会重复是找死，如果摸到的绿豆数与N相差大于1的话，又会使得3号囚犯有机会使摸到的绿豆数居中。
3号囚犯也会使自己摸到的绿豆数与1、2号的紧密相邻，即使自己摸到的绿豆数比1、2号的之中最大的大1，最小的小1。因为3号囚犯可以通过摸剩余绿豆的方法得知1、2号囚犯摸到的绿豆总数，又知1、2号囚犯摸到的绿豆数相差为1，从而判断出1、2号囚犯各自摸到的绿豆数。
4、5号囚犯与3号囚犯想法基本相同。即使自己摸到的绿豆数比自己前面所有的之中最大的大1，最小的小1。
综上所述，5个囚犯摸到的绿豆数为5个连续整数。

1号囚犯存活机率。1号囚犯有两种情况必死：摸到的绿豆数最大或最小。摸到的绿豆数最大或最小，只能由后4位囚犯决定，由分析可知后4位囚犯的摸到绿豆数的位置都只有两个，即一组连续整数的两边。因此1号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/16，最小时的机率也为1/16，1号囚犯存活机率为1-（1/16）*2=7/8
2号囚犯存活机率。由对称性可知2号囚犯存活机率与1号相同，也为7/8。 3号囚犯存活机率。3号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/8，最小时的机率也为1/8，1号囚犯存活机率为1-（1/8）*2=3/4。
4号囚犯存活机率。4号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）=1/4，最小时的机率也为1/4，4号囚犯存活机率为1-（1/4）*2=1/2。
5号囚犯存活机率。5号囚犯摸到的绿豆数不是最大就是最小，必死无疑。5号囚犯存活机率为0