Question

有关数学的问题

由y=f（x）的参数方程求其单调性和凹凸性时，方法一般是将参数方程求一阶导数和二阶导数，即dy/dt 和d²y/dx²，假设x=t-sint，y=1-cost，t∈【0,2π】，问y=y（x）的单调性和凹凸性。
除了上面说的方法外，可不可以这样作：因为x=t-sint单调，由dy/dt=sint得在0到π单增，在π到2π单减，所以y=y（x）在0到π单增，在π到2π单减。d²y/dt²=cost，在0到π/2大于零，为凹；π/2到3π/2小于零，为凸；3π/2到2π大于零，为凹。
这么作好像不对，请高手就此例详细指点错在哪里，谢谢

Answer 1

LZ，我给你证明几条结论，可能会用到你没学过的东西，你就将就着看吧
首先y,x是t的函数，这个事实上表明了y,x,t两两互为函数
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=(dy/dt)*1/(dx/dt)（LZ不要以为第二步到第三步很简单，看起来不就是一个倒数？我很明确的告诉你，不是的，这个涉及到了反函数的求导原则，证明过程还很容易搞混，记住就行了）
因为x=x(t)，，且x'(t)>0，再根据y'(t)是否大于0，我们就能得到dy/dx与0的大小。可以看出当x(t),y(t)同增减时，y=f(x)单调递增；当x(t),y(t)不同增减时，y=f(x)单调递减
再看凹凸性：
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx=d((dy/dt)*(dt/dx))/d(x)=d(dy/dt)/dx+d(dt/dx)/dx
=(d²y/(dtdx))*(dt/dx(+(d²t/dx²)*(dy/dt(（这个说白了就是f(x)q(x)对X求导的原理，你就这么理解吧）
其中d²y/(dtdx)表示的是y对t先求导，得到的结果再对x求导，因为t是x的函数，因此又有
d²y/(dtdx)=d(dy/dt)/dx=d(dy/dt)/dt*dt/dx=(d²y/dt²)*(dt/dx)
事实上，一般来说d²y/(dtdx)=d²y/(dxdt)
好了LZ不用仔细看过程，你只要知道两点
1、当x(t),y(t)同增减时，y=f(x)单调递增；当x(t),y(t)不同增减时，y=f(x)点掉递减。
2、凹凸性，你就别贪图简单了，你做的凹凸性八成是错的。当然我自己没算

追问

那请问对称性呢，如果x=t-sint，y=1-cost，t∈【-π,π】。把y看做t的函数，因为y=1-cost在当t∈【-π,π】时，图形是关于y轴是对称的，请问由此可以判断由这个参数方程确定的原函数y=f（x）是关于y轴对称的吗，它们两者有没有联系，谢谢

追答

你这个题目说真的比较特殊，因为函数x=t-sint是个递增函数，因此x与t是一一对应的
当如果x0=t0-sint0，对于关于t的方程t-sint=-x0的解必然是-t0,根据这一点我们可以得到
如果x=x0时，y的值对应的是y0,而此时的t为t0，有y0=1-cost0
那么当x=-x0，此时对应的t必然是-t0，此时y=1-cos(-t0)=y0
也就是说函数y(x)是关于y轴对称的，是个偶函数。
这个题目说了很巧
1、x是t的奇函数，而且还是单调的
2、y是t的偶函数。
因此有了结论，但是事实上LZ你这个理论真心有问题，别老想着只看y与t的关系而得出结论

Answer 2

已知x=t-sint，y=1-cost，t∈【0,2π】，问y=y（x）的单调性和凹凸性。

解：不可以那么作，因为你的结论是错的。
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(sint)/(1-cost)；由于1-cost≧0，故dy/dx的符号取决于分子sint的符号：在[0，π]内sint≧0，故y(x)在[0，π]内单调增；在[π，2π]内sint≦0，故y(x)在[π，2π]内单调减。
d²y/dx²=(dy'/dt)/(dx/dt)={[(1-cost)cost-sin²t]/(1-cost)²}/(1-cost)=(cost-1)/(1-cost)³=-1/(1-cost)²<0
在[0，2π])内恒成立，故y(x)的图像在[0，2π]内都是向上凸的，x=0(t=0)时y=0，x=2π(t=2π)时
y=0；且x=π(t=π)时y获得最大值2.
[附识]你可能不会求参数方程的二阶导数，从而让你想到了这么个法儿。参数方程的一阶和二阶
导数的求法如下：
已知x=f(t)，y=φ(t)；那么：
dy/dx=y'(x)=(dφ/dt)/(df/dt)=φ'(t)/f '(t)；
d²y/dx²=y''(x)=dy'(x)/dx=[dy'(x)/dt]/(dx/dt)={[f '(t)φ''(t)-φ'(t)f ''(t)]/[f '(t)]²}/f '(t)
=[(f '(t)φ''(t)-φ'(t)f ''(t)]/[f '(t)]³.