有关数学的问题
由y=f(x)的参数方程求其单调性和凹凸性时,方法一般是将参数方程求一阶导数和二阶导数,即dy/dt和d²y/dx²,假设x=t-sint,y=1-c...
由y=f(x)的参数方程求其单调性和凹凸性时,方法一般是将参数方程求一阶导数和二阶导数,即dy/dt 和d²y/dx²,假设x=t-sint,y=1-cost,t∈【0,2π】,问y=y(x)的单调性和凹凸性。
除了上面说的方法外,可不可以这样作:因为x=t-sint单调,由dy/dt=sint得在0到π单增,在π到2π单减,所以y=y(x)在0到π单增,在π到2π单减。d²y/dt²=cost,在0到π/2大于零,为凹;π/2到3π/2小于零,为凸;3π/2到2π大于零,为凹。
这么作好像不对,请高手就此例详细指点错在哪里,谢谢 展开
除了上面说的方法外,可不可以这样作:因为x=t-sint单调,由dy/dt=sint得在0到π单增,在π到2π单减,所以y=y(x)在0到π单增,在π到2π单减。d²y/dt²=cost,在0到π/2大于零,为凹;π/2到3π/2小于零,为凸;3π/2到2π大于零,为凹。
这么作好像不对,请高手就此例详细指点错在哪里,谢谢 展开
2个回答
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LZ,我给你证明几条结论,可能会用到你没学过的东西,你就将就着看吧
首先y,x是t的函数,这个事实上表明了y,x,t两两互为函数
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=(dy/dt)*1/(dx/dt)(LZ不要以为第二步到第三步很简单,看起来不就是一个倒数?我很明确的告诉你,不是的,这个涉及到了反函数的求导原则,证明过程还很容易搞混,记住就行了)
因为x=x(t),,且x'(t)>0,再根据y'(t)是否大于0,我们就能得到dy/dx与0的大小。可以看出当x(t),y(t)同增减时,y=f(x)单调递增;当x(t),y(t)不同增减时,y=f(x)单调递减
再看凹凸性:
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx=d((dy/dt)*(dt/dx))/d(x)=d(dy/dt)/dx+d(dt/dx)/dx
=(d²y/(dtdx))*(dt/dx(+(d²t/dx²)*(dy/dt((这个说白了就是f(x)q(x)对X求导的原理,你就这么理解吧)
其中d²y/(dtdx)表示的是y对t先求导,得到的结果再对x求导,因为t是x的函数,因此又有
d²y/(dtdx)=d(dy/dt)/dx=d(dy/dt)/dt*dt/dx=(d²y/dt²)*(dt/dx)
事实上,一般来说d²y/(dtdx)=d²y/(dxdt)
好了LZ不用仔细看过程,你只要知道两点
1、当x(t),y(t)同增减时,y=f(x)单调递增;当x(t),y(t)不同增减时,y=f(x)点掉递减。
2、凹凸性,你就别贪图简单了,你做的凹凸性八成是错的。当然我自己没算
首先y,x是t的函数,这个事实上表明了y,x,t两两互为函数
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=(dy/dt)*1/(dx/dt)(LZ不要以为第二步到第三步很简单,看起来不就是一个倒数?我很明确的告诉你,不是的,这个涉及到了反函数的求导原则,证明过程还很容易搞混,记住就行了)
因为x=x(t),,且x'(t)>0,再根据y'(t)是否大于0,我们就能得到dy/dx与0的大小。可以看出当x(t),y(t)同增减时,y=f(x)单调递增;当x(t),y(t)不同增减时,y=f(x)单调递减
再看凹凸性:
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx=d((dy/dt)*(dt/dx))/d(x)=d(dy/dt)/dx+d(dt/dx)/dx
=(d²y/(dtdx))*(dt/dx(+(d²t/dx²)*(dy/dt((这个说白了就是f(x)q(x)对X求导的原理,你就这么理解吧)
其中d²y/(dtdx)表示的是y对t先求导,得到的结果再对x求导,因为t是x的函数,因此又有
d²y/(dtdx)=d(dy/dt)/dx=d(dy/dt)/dt*dt/dx=(d²y/dt²)*(dt/dx)
事实上,一般来说d²y/(dtdx)=d²y/(dxdt)
好了LZ不用仔细看过程,你只要知道两点
1、当x(t),y(t)同增减时,y=f(x)单调递增;当x(t),y(t)不同增减时,y=f(x)点掉递减。
2、凹凸性,你就别贪图简单了,你做的凹凸性八成是错的。当然我自己没算
追问
那请问对称性呢,如果x=t-sint,y=1-cost,t∈【-π,π】。把y看做t的函数,因为y=1-cost在当t∈【-π,π】时,图形是关于y轴是对称的,请问由此可以判断由这个参数方程确定的原函数y=f(x)是关于y轴对称的吗,它们两者有没有联系,谢谢
追答
你这个题目说真的比较特殊,因为函数x=t-sint是个递增函数,因此x与t是一一对应的
当如果x0=t0-sint0,对于关于t的方程t-sint=-x0的解必然是-t0,根据这一点我们可以得到
如果x=x0时,y的值对应的是y0,而此时的t为t0,有y0=1-cost0
那么当x=-x0,此时对应的t必然是-t0,此时y=1-cos(-t0)=y0
也就是说函数y(x)是关于y轴对称的,是个偶函数。
这个题目说了很巧
1、x是t的奇函数,而且还是单调的
2、y是t的偶函数。
因此有了结论,但是事实上LZ你这个理论真心有问题,别老想着只看y与t的关系而得出结论
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已知x=t-sint,y=1-cost,t∈【0,2π】,问y=y(x)的单调性和凹凸性。
解:不可以那么作,因为你的结论是错的。
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(sint)/(1-cost);由于1-cost≧0,故dy/dx的符号取决于分子sint的符号:在[0,π]内sint≧0,故y(x)在[0,π]内单调增;在[π,2π]内sint≦0,故y(x)在[π,2π]内单调减。
d²y/dx²=(dy'/dt)/(dx/dt)={[(1-cost)cost-sin²t]/(1-cost)²}/(1-cost)=(cost-1)/(1-cost)³=-1/(1-cost)²<0
在[0,2π])内恒成立,故y(x)的图像在[0,2π]内都是向上凸的,x=0(t=0)时y=0,x=2π(t=2π)时
y=0;且x=π(t=π)时y获得最大值2.
[附识]你可能不会求参数方程的二阶导数,从而让你想到了这么个法儿。参数方程的一阶和二阶
导数的求法如下:
已知x=f(t),y=φ(t);那么:
dy/dx=y'(x)=(dφ/dt)/(df/dt)=φ'(t)/f '(t);
d²y/dx²=y''(x)=dy'(x)/dx=[dy'(x)/dt]/(dx/dt)={[f '(t)φ''(t)-φ'(t)f ''(t)]/[f '(t)]²}/f '(t)
=[(f '(t)φ''(t)-φ'(t)f ''(t)]/[f '(t)]³.
解:不可以那么作,因为你的结论是错的。
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(sint)/(1-cost);由于1-cost≧0,故dy/dx的符号取决于分子sint的符号:在[0,π]内sint≧0,故y(x)在[0,π]内单调增;在[π,2π]内sint≦0,故y(x)在[π,2π]内单调减。
d²y/dx²=(dy'/dt)/(dx/dt)={[(1-cost)cost-sin²t]/(1-cost)²}/(1-cost)=(cost-1)/(1-cost)³=-1/(1-cost)²<0
在[0,2π])内恒成立,故y(x)的图像在[0,2π]内都是向上凸的,x=0(t=0)时y=0,x=2π(t=2π)时
y=0;且x=π(t=π)时y获得最大值2.
[附识]你可能不会求参数方程的二阶导数,从而让你想到了这么个法儿。参数方程的一阶和二阶
导数的求法如下:
已知x=f(t),y=φ(t);那么:
dy/dx=y'(x)=(dφ/dt)/(df/dt)=φ'(t)/f '(t);
d²y/dx²=y''(x)=dy'(x)/dx=[dy'(x)/dt]/(dx/dt)={[f '(t)φ''(t)-φ'(t)f ''(t)]/[f '(t)]²}/f '(t)
=[(f '(t)φ''(t)-φ'(t)f ''(t)]/[f '(t)]³.
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