Question

x=1/2(根号5+1),求(x的三次方+x+1)/x的五次方的值

Answer 1

原题即：设x=(√5+1)/2，求(x^3+x+1)/x^5的值。

解：由于x^2=[(√5+1)/2]^2=(6+2√5)/4=(3+√5)/2；
x^3=x^2×x=(3+√5)/2×(√5+1)/2=(8+4√5)/4=2+√5；
x^5=x^3×x^2=(2+√5)×(3+√5)/2=(11+5√5)/2；

则1/x^5=2/(11+5√5)=2(11-5√5)/(121-125)=(5√5-11)/2.............注：分母有理化

所以(x^3+x+1)/x^5
=(x^3+x+1)×1/x^5
=[2+√5+(√5+1)/2+1]×(5√5-11)/2
=(7+3√5)/2×(5√5-11)/2
=(2√5-2)/4
=(√5-1)/2

追问

这个方法貌似有点麻烦，可能我们学生现在要掌握的不是按部就班。所以在网页上看到的答案都回答的不太好啊。

追答

试试这个方法？
x=(根号5+1)/2 , 设 y = (-根号5+1)/2 , 于是，它们是：
x^2 - x - 1 = 0 的两个根。
x^2 = x+1
x的3次方+x+1 = x^3 + x^2 = x^2 * (x+1) = x^2 * x^2 =
x^4

(x的3次方+x+1)/x的5次方 =
1/x = 2/(根号5+1) =
(根号5 - 1)/2