Question

已知函数f(x)=(根号1+x)-x

求函数f(x)的值域。
若g(x)=(根号1-x)+x,判断函数F(x)=lg（f(x)/g(x))的奇偶性
若函数y=f(ax)在区间(-1,1)上存在零点，求实数a的取值范围
求详细过程

Answer 1

 

第二问：

将-x代入F(x)，

若F(-x)=-F(x)，F(x)是奇函数；

若F(-x)=F(x)，F(x)是偶函数；

若F(-x)≠-F(x)、F(-x)≠F(x)，F(x)是非奇非偶函数。

简单计算而已。

 

第三问：

以ax代替f(x)中的x，得到f(ax)

然后，令f(ax)=0，

依据二次根式、分母等的性质，即可得到a的范围。

同样简单。

不再赘述，留给楼主做练习吧。

Answer 2

已知函数f(x)=(1+x)^1/2-x求函数f(x)的值域。

若g(x)=(1-x)1/2+x,判断函数F(x)=lg(f(x)/g(x))的奇偶性

若函数y=f(ax)在区间(-1,1)上存在零点，求实数a的取值范围

求详细过程

解析：（1）函数f(x)=(1+x)^1/2-x的定义域为[-1，＋∞)；

∵f(x)=(1+x)^1/2-x，

∴f’(x)=1/2(1+x)1/2-1=(1-2(1+x)^1/2)/(1+x)^-1/2，

令f’(x)=0，则(1-2(1+x)^1/2)=0，解得x=-3/4，

∵当x∈[-1，-3/4)，f’(x)＞0，f(x)单调递增；

  当x∈(-3/4，＋∞)，f’(x)＜0，f(x)单调递减；

∴x=-3/4时，函数f(x)=(1+x)1/2-x有最值，f(x)max=f(-3/4)=(1-3/4)1/2+3/4=5/4，f(-1)=(1-1)^1/2+1=1，f( ＋∞)=limf(x)(x→＋∞)=lim{(1+x)^1/2-x}(x→＋∞)=－∞,

∴函数f(x)=(1+x)1/2-x的值域为(－∞，5/4]。

（2）∵g(x)=(1-x)1/2+x,∴F(x)=lg(f(x)/g(x))=lg[((1+x)1/2-x)/((1-x)1/2+x))],∴F(-x)=lg[((1-x)1/2+x)/((1+x)1/2-x))]，∴F(x)+F(-x)=lg[((1+x)1/2-x)/((1-x)1/2+x))]+lg[((1-x)1/2+x)/((1+x)1/2-x))]=lg{[((1+x)1/2-x)/((1-x)1/2+x))][((1-x)1/2+x)/((1+x)1/2-x))]}=lg1=0，∴F(-x)=-F(x)，即函数F(x)=lg(f(x)/g(x))是奇函数。

（3）函数y=f(ax)在区间(-1,1)上存在零点，求实数a的取值范围，y=f(ax)=(1+ax)^1/2-ax=(1+ax)^1/2-(ax+1)+1=-[(ax+1)^1/2-1/2]2+5/4，

Y=0，-[(ax+1)^1/2-1/2]2+5/4=0，(ax+1)^1/2-1/2=±√5/2，(ax+1)^1/2=(1±√5)/2(负值舍去），(ax+1)1/2=(1+√5)/2，

ax+1=(3+√5)/2，ax=(1+√5)/2，

∵x=0，前式恒不成立，∴x≠0，∴a=(1+√5)/2x，

求a的范围，就是求y=(1+√5)/2x，x∈(-1，0)∪(0，1)的值域；y=(1+√5)/2x，在x∈(-1，0)∪(0，1)上是减函数，y∈(-∞，-(1+√5)/2)∪((1+√5)/2，＋∞)，∴a∈(-∞，-(1+√5)/2)∪((1+√5)/2，＋∞)。