Question

已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆c：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两点.

已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆c：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两点.
若O为坐标原点，且向量OM*向量OM=12.求k的值。

Answer 1

设直线L:y=kx+1
由｛（x-2）²+（y-3）²=1
｛y=kx+1
==> (x-2) ²+（kx-2）²=1
==> (1+k²)x²-4(k+1)x+7=0
Δ=16（k+1)²-28(1+k²)>0

设M(x1,y1),N(x2,y2)
那么x1+x2=4(k+1)/(k²+1),
x1x2=7/(k²+1)
∵向量OM*向量OM=12.
∴x1x2+y1y2=12
即x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=12
∴(1+k²)x1x2+k(x1+x2)-11=0
即(1+k²)*7/(1+k²)+4k(k+1)/(k²+1)-11=0
∴(1+k²)*7+4k(k+1)-11(k²+1)=0
∴7+4k-11=0
∴k=1 (符合Δ>0)
∴k=1

追问

谢谢

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