Question

f(x)满足f(x+1/2)=f(x-1/2),且当x∈【0,1)时,f(x)=cosπx

则函数y=f(x)-1/10x的零点的个数

Answer 1

f(x+1/2)=f(x-1/2)

f(x-1/2+1/2)=f(x-1/2-1/2)

f(x)=f(x-1)

1是周期

画出cosπx,x∈[0,1)

将cosπx向左右1单位1单位移动

∵y=(1/10)x与cosπx,x∈[0,1)在[0,1)内有1交点

x=10时

第11段cosπ(x-10)=cos0=1=1/10*10.。。[0,1),[1,2)...[10,11)

∴在(10,1)有交点

∴在x>0时

每1单位内有1交点，共11个

对称性

在x<0的每1单位内有1交点，共11个

总共22个交点

即y=f(x)-1/10x的零点的个数是22

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追问

答案给的是21个

追答

一不小心就被钻空子

因为是[0,1)...左开右闭

所以向左平移时

第11个取不到

此时区间是[-11,-10)....取不到

共22-1=21

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