Question

在求分段函数的导数是，分段点为什么要用导数定义来做。还有在求导数之前怎么知道可不可导？

还有你是学数学的吗？太强了

Answer 1

分段点用导数定义来求肯定是可以的（不是分段点也可以用定义求，呵呵），但也不一定不能用求导公式，关键是导函数在分段点处是否连续不知道，我们如果用求导公式求出了分段点右侧的导函数，然后代人分段点x0的值作为f'(x0)，这实际上是一个求导函数f‘(x)在x0处极限的过程，也就是这样求出的是limf'(x)，如果导函数在x0处不连续，limf'(x)是不等于f'(x0)的。（不过多说一点就是，导函数有一个很特殊的性质，如果导函数在x0点的极限存在，那么x趋于x0时limf'(x)一定等于f'(x0)，但这不妨碍我刚才所说的那些，因为limf'(x)还有可能不存在）。至于判断是否可导，一般只要知道初等函数在其定义域内都是可导的即可，这样在求初等函数的导数时通常就不用考虑是否可导了，那些专门让你判断是否可导的题目，一般都是用导数定义的。

追问

有限次加减，复合运算的基本初等函数是是初等函数，那绝对值函数是不是初等函数？还有带根号的是吗？举个不是初等函数看看，谢谢
在求分段点的导数时，为什么要先判断是否连续，是因为导数的原函数都是连续的吗。是不是一点的导数其实跟分段函数没有关系，所以要单独求

追答

绝对值函数是不是初等函数是个有争议的问题，除了绝对值函数外你说的那些都是初等函数，在高等数学里能接触到的不是初等函数的函数，如分段函数，变上限积分函数，无穷多个函数的和（即无穷级数）等。可导一定连续，反过来不连续就一定不可导，例如f(x)=x+1（x≥0），
=x （x<0)
这个函数通过用求导法则求导数的话，似乎x=0处的左右导数都等于1，从而认为f'(0)=1，但是f在x=0点不连续，所以不可导，这就是判断连续性的作用，事实上刚才求出的两个1是导函数在x=0处的左右极限，而不是x=0点的左右导数，左右导数是要用定义求的，你可以自己试试，它的左导数是不存在的，从而不可导。

绝对值函数是不是初等函数是个有争议的问题，除了绝对值函数外你说的那些都是初等函数，在高等数学里能接触到的不是初等函数的函数，如分段函数，变上限积分函数，无穷多个函数的和（即无穷级数）等。可导一定连续，反过来不连续就一定不可导，例如f(x)=x+1（x≥0），
=x （x<0)
这个函数通过用求导法则求导数的话，似乎x=0处的左右导数都等于1，从而认为f'(0)=1，但是f在x=0点不连续，所以不可导，这就是判断连续性的作用，事实上刚才求出的两个1是导函数在x=0处的左右极限，而不是x=0点的左右导数，左右导数是要用定义求的，你可以自己试试，它的左导数是不存在的，从而不可导。

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=x （x<0)
这个函数通过用求导法则求导数的话，似乎x=0处的左右导数都等于1，从而认为f'(0)=1，但是f在x=0点不连续，所以不可导，这就是判断连续性的作用，事实上刚才求出的两个1是导函数在x=0处的左右极限，而不是x=0点的左右导数，左右导数是要用定义求的，你可以自己试试，它的左导数是不存在的，从而不可导。

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=x （x<0)
这个函数通过用求导法则求导数的话，似乎x=0处的左右导数都等于1，从而认为f'(0)=1，但是f在x=0点不连续，所以不可导，这就是判断连续性的作用，事实上刚才求出的两个1是导函数在x=0处的左右极限，而不是x=0点的左右导数，左右导数是要用定义求的，你可以自己试试，它的左导数是不存在的，从而不可导。

绝对值函数是不是初等函数是个有争议的问题，除了绝对值函数外你说的那些都是初等函数，在高等数学里能接触到的不是初等函数的函数，如分段函数，变上限积分函数，无穷多个函数的和（即无穷级数）等。可导一定连续，反过来不连续就一定不可导，例如f(x)=x+1（x≥0），
=x （x<0)
这个函数通过用求导法则求导数的话，似乎x=0处的左右导数都等于1，从而认为f'(0)=1，但是f在x=0点不连续，所以不可导，这就是判断连续性的作用，事实上刚才求出的两个1是导函数在x=0处的左右极限，而不是x=0点的左右导数，左右导数是要用定义求的，你可以自己试试，它的左导数是不存在的，从而不可导。

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=x （x<0)
这个函数通过用求导法则求导数的话，似乎x=0处的左右导数都等于1，从而认为f'(0)=1，但是f在x=0点不连续，所以不可导，这就是判断连续性的作用，事实上刚才求出的两个1是导函数在x=0处的左右极限，而不是x=0点的左右导数，左右导数是要用定义求的，你可以自己试试，它的左导数是不存在的，从而不可导。

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=x （x<0)
这个函数通过用求导法则求导数的话，似乎x=0处的左右导数都等于1，从而认为f'(0)=1，但是f在x=0点不连续，所以不可导，这就是判断连续性的作用，事实上刚才求出的两个1是导函数在x=0处的左右极限，而不是x=0点的左右导数，左右导数是要用定义求的，你可以自己试试，它的左导数是不存在的，从而不可导。

追问

左极限不是0右极限是1.既然不连续了，还可以用定义求导吗？但是用定义求出来怎么左右都是1？

追答

不连续就不可导，但怎么知道不可导呢，还不是用求导的定义去求一下（即求极限），但是结果是极限不存在，所以不可导。我说的那个函数，在x=0点的左导数不存在，右导数等于1，其导函数在x=0点的左右极限都存在且都等于1。

追问

左导数为什么不存在，不是1吗？”导函数在x=0点的左右极限都存在且都等于1“能说明什么问题吗？

追答

按定义求左导数，f'-(0)=lim[f(x)-f(0)]/(x-0)，注意这里f(x)的x是小于0的，而f(0)=1，因此极限等于lim(x-1)/x=1-1/x，x趋于0-时这个极限是无穷大，因此左导数不存在。我说“导函数在x=0点的左右极限都存在且都等于1”是为了说明，在间断点处用导数公式求出来的导数是“不靠谱”的，必须验证在该点连续后，导数极限定理（如果导函数在某点的右极限存在，则该点处的导数也存在，且就等于导函数在该点的右极限）才能起作用，因为导数极限定理的前提是函数在该点的某邻域内连续。