Question

大学高数，常系数齐次线性微分方程。

Answer 1

ds/dt=v
dv/dt=a
F=k1s
f=k2v
a=(F-f)/m=k1s-k2v
d^2 s/dt^2+k2ds/dt-k1s=0
特征方程x^2 +k2 x-k1=0
x1={-k2+根号下(k2^2 +4k1)}/2,x2={-k2-根号下(k2^2 +4k1)}/2
s=C1e^{-k2+根号下(k2^2 +4k1)}t/2+C2e^{-k2-根号下(k2^2 +4k1)}t/2
代入初值条件 s(0)=0,v(0)=v0
解得 C1+C2=0
C1{-k2+根号下(k2^2 +4k1)}/2+C2{-k2-根号下(k2^2 +4k1)}/2=v0
C1=v0/根号下(k2^2 +4k1),C2=-v0/根号下(k2^2 +4k1)
s=v0/根号下(k2^2 +4k1) e^{-k2+根号下(k2^2 +4k1)}t/2-v0/根号下(k2^2 +4k1) e^{-k2-根号下(k2^2 +4k1)}t/2

追问

我的妈呀

追答

其实简单 只不过描述起来麻烦
特征方程的两个根不好写

Answer 2

在x轴上任取点x, 在点x的质点的质量为m,速度为x'.加速度x''故：
K1x-k2x'=mx''
或者mx''+K2x'-K1x=0 由于 (K2)^2+4mK1>0
方程mr^2+K2r-K1=0有2实数根：r1,2=(-K2±√((K2)^2+4mK1))/(2m)
方程通解：x=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
初始条件t=0,x=0 t=0 x'=0 代入可求出C1,C2