Question

一道考试题目求助：计算二重积分∫∫ydxdy D是由x2+y2=2x y=x围成的

为什么我算了好几次都是1/3啊，别人都是算的1/2，差哪一块？求大神指导。谢谢！

Answer 1

x²+y²=2x为圆心在(1,0)，半径为1的圆
换为极坐标，x=rcosθ，y=rsinθ，dxdy=rdrdθ
圆方程为r=cosθ，直线方程为θ=π/4
直线与圆相交围成两部分，一部分为π/4≤θ≤π/2，一部分为-π/2≤θ≤π/4
一部分积分为
∫∫ydxdy
=∫<π/4,π/2>dθ∫<0,cosθ>rsinθ*rdr
=∫<π/4,π/2>sinθdθ∫<0,cosθ>r²dr
=∫<π/4,π/2>sinθdθ[<0,cosθ>r³/3]
=∫<π/4,π/2>sinθcos³θ/3dθ
=-∫<π/4,π/2>cos³θ/3dcosθ
=-[<π/4,π/2>(cosθ)^4/12]
=-{[cos(π/2)]^4-[cos(π/4)]^4}/12
=-{0-[√2/2]^4}/12
=(1/4)/12
=1/48
另一部分积分为
∫∫ydxdy
=∫<-π/2,π/4>dθ∫<0,cosθ>rsinθ*rdr
......
=-[<-π/2,π/4>(cosθ)^4/12]
=-{[cos(π/4)]^4-[cos(-π/2)]^4}/12
=-{[√2/2]^4-0}/12
=-(1/4)/12
=-1/48
怎么也不是你给的答数
若是圆与直线y=x，y=0围成的区域，则积分应为
∫∫ydxdy
=∫<0,π/4>dθ∫<0,cosθ>rsinθ*rdr
......
=-[<0,π/4>(cosθ)^4/12]
=-{[cos(π/4)]^4-[cos0]^4}/12
=-{[√2/2]^4-1}/12
=(3/4)/12
=1/16
也不是你给的答数
抄题是否有误？