Question

急在线等，高手进，数学题

设f(x)=x^2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}.1求证A真包含于B:2.如果A＝{-1,3}.求B

Answer 1

1）
对于满足A的x
f(x)=x
f(f(x))=f(x)=x,满足B
所以，A是B的子集.

2）
x=f(x)=x^2+px+q
x^2+(p-1)x+q=0

A={-1，3}，
x^2+(p-1)x+q=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3
p-1=-2,p=-1
q=-3

f(x)=x^2-x-3
f(f(x))=(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x^4-2x^3-6x^2+7x+9
x^4-2x^3-6x^2+7x+9=x
x^4-2x^3-6x^2+6x+9=0
(x+1)(x-3)(x+√3)(x-√3)=0
B={-1,3,√3,-√3}

Answer 2

补充：
A包含于B,见楼上
现在证:B不包含于A

带入：(x^2+px+q)^2+p(x^2+px+q)+q = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = 0
由于B为四次方程有四个根，而A只有两个，即B中的元素有A没有的，所以```