Question

数学课上 张老师出示了问题:如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AB⊥BF，点P为BC上

（1）数学课上 张老师出示了问题:如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AB⊥BF，点P为BC上任意一点，且AP⊥PF，请问AP等于PF吗，说明理由。（2）如果把“点P是边BC上一点”改为“点P是边CB上（除C、B外）延长线上的任意一点”，其他条件不变，那么结论还成立吗？写出证明过程。

Answer 1

如图做辅助线，FO⊥CB延长线于O点。

则∠FBO=45度，BO=FO

由AP⊥PF，很容易知道∠CAP=∠OPF（三角形外角定理），从而△ACP相似于△POF，故可知AC/CP=PO/FO,其中PO=PB+BO=PB+FO，AC=BC=PB+PC，代入可知FO=CP；从而AC=PO。

进一步知道△ACP全等于△POF，AP=PF。

2）

同样相等，证明方法同上，先证明△ACP相似于△POF，再证明△ACP全等于△POF即可