Question

已知P是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上的一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=θ，

求三角形F1PF2的面积公式
就是S=b2tan（θ/2）的证明啦

Answer 1

记PF1=x，PF2=y，
x+y=2a，
a²-b²=c²，
S=1/2*xysinθ，
F1F2=2c
余弦定理：
4c²=x²+y²-2xycosθ
=(x+y)²-2xy(1+cosθ)
=4a²-4xycos²(θ/2)
=4a²-4b²
∴xy=b²/cos²(θ/2),
∴S=1/2*xysinθ
=xy*sin(θ/2)*cos(θ/2)
=b²tan(θ/2)

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