Question

在三角形ABC中𠃋B二45度，BC二1，AB等于2根号2，以AB为边作等腰直角三角形ABD，角A

在三角形ABC中𠃋B二45度，BC二1，AB等于2根号2，以AB为边作等腰直角三角形ABD，角ABD二90度，连结CD，求CD长度

Answer 1

　　解：作DE⊥BC于E。
（1）若C、D在AB同侧。

　　∵AB=2√2  ∠DBE=∠DBA-∠CBA=45°

　　∴BE=DE=2

　　∴CE=BE-BC=1

　　∴CD=√(DE²+CE²)=√5
(2)若C、D在AB异侧。

　　∵AB=2√2  ∠DBE=180°-∠DBA-∠CBA=45°

　　∴BE=DE=2

　　∴CE=BE+BC=3

∴CD=√(DE²+CE²)=√13

　　

Answer 2

答案为【√5或√13】
过程如下：
解：①如图1，D与C在AB的同侧.
延长BC交AD于E.
∵∠ABC=45°，∠ABD=90°（已知）,
∴∠DBE=∠ABD-∠ABC=45°（等量代换）.
在△BDE中，
∠DBE+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）.
又∵∠BDE=45°（已知）,
∴∠BED=90°（等量代换）.
∴由勾股定理得，BE²+DE²=BD²，2BE²=(2√2)²，
2BE²=8，BE²=4，BE=2.
∴CE=BE-BC=2-1=1（等量代换）.
∴在△CDE中，由勾股定理得，
CD=√(CE²+DE²)=√(1+4)=√5.

向左转|向右转

图1

②如图2，D与C在A的异侧.
作△DBC上DB的高线CE交DB的延长线于E.
∵∠ABC=45°，∠ABE=90°（已知）,
∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=45°（等量代换）.
在△BCE中，∠CBE+∠E+∠BCE=180°（三角形内角和定理）,
又∵∠E=90°（已作）,
∴∠BCE=45°（等量代换）.
∴由勾股定理得，BE²+CE²=BC²，2CE²=1²，CE²=1/2，CE=√2/2.

向左转|向右转

∴在△DCE中，由勾股定理得，

向左转|向右转

向左转|向右转

图2
综上所述，CD长为√5或√13

Answer 3

答案为【√5或√13】

过程如下：

解：①如图1，D与C在AB的同侧.
延长BC交AD于E.

∵∠ABC=45°，∠ABD=90°（已知）,

∴∠DBE=∠ABD-∠ABC=45°（等量代换）.

在△BDE中，
∠DBE+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）.

又∵∠BDE=45°（已知）,

∴∠BED=90°（等量代换）.
∴由勾股定理得，BE²+DE²=BD²，2BE²=(2√2)²，
2BE²=8，BE²=4，BE=2.
∴CE=BE-BC=2-1=1（等量代换）.
∴在△CDE中，由勾股定理得，
CD=√(CE²+DE²)=√(1+4)=√5.

向左转|向右转

图1

②如图2，D与C在A的异侧.

作△DBC上DB的高线CE交DB的延长线于E.

∵∠ABC=45°，∠ABE=90°（已知）,

∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=45°（等量代换）.

在△BCE中，∠CBE+∠E+∠BCE=180°（三角形内角和定理）,

又∵∠E=90°（已作）,

∴∠BCE=45°（等量代换）.

∴由勾股定理得，BE²+CE²=BC²，2CE²=1²，CE²=1/2，CE=√2/2.

向左转|向右转

∴在△DCE中，由勾股定理得，

向左转|向右转

向左转|向右转

图2
综上所述，CD长为√5或√13 .

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Answer 4

解答：解：①如图1，点A、D在BC的两侧，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=
2
AB=
2
×2
2
=4，
∵∠ABC=45°，
∴BE=DE=
1
2
AD=
1
2
×4=2，BE⊥AD，
∵BC=1，
∴CE=BE-BC=2-1=1，
在Rt△CDE中，CD=
CE2+DE2
=
12+22
=
5
；
②如图2，点A、D在BC的同侧，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AB=2
2
，
过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=

2

2
×2
2
=2，
∵BC=1，
∴CE=BE+BC=2+1=3，
在Rt△CDE中，CD=
CE2+DE2
=
32+22
=
13
，
综上所述，线段CD的长为
5
或
13
．
故答案为：
5
或
13
．

Answer 5

解：作DE⊥BC于E。
（1）若C、D在AB同侧。∵AB=2√2 ∠DBE=∠DBA-∠CBA=45°∴BE=DE=2∴CE=BE-BC=1∴CD=√(DE²+CE²)=√5
(2)若C、D在AB异侧。∵AB=2√2 ∠DBE=180°-∠DBA-∠CBA=45°∴BE=DE=2∴CE=BE+BC=3∴CD=√(DE²+CE²)=√13