Question

设X1>0,Xn+1=3+4/Xn,(x=1,2···),证明X趋向无穷时Xn存在,并求此极限

求详细解答

Answer 1

（先假设极限存在，设为x，则x=3+4/x，所以x=4，舍去x=-1）
由归纳法知x[n]>0，进而x[n]>3 (n>1)
|x[n+1]-4|=|4/x[n]-1|=|4-x[n]|/|x[n]|<|x[n]-4|/3 (n>1)
所以lim(n→∞)|x[n]-4|=0
即∫lim(n→∞)x[n]=4

追问

|x[n+1]-4|=|4/x[n]-1|=|4-x[n]|/|x[n]|1)所以lim(n→∞)|x[n]-4|=0
这两步之间的因果关系我还是不太明白，可以说的详细写吗？
先谢谢啦~~~

追答

用这个关系迭代下去就得到|x[n]-4|<|x[2]-4|/3^(n-2)，右边的极限是0，用夹逼定理得到|x[n]-4|的极限为0

Answer 2

对一切n，xn＞3