Question

在Pt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E

（1）如图1，连接EC，若BC=3，求△EBC的周长
（2）如图2，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G，若ND=3，DG=10，求AD的长

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Answer 1

（1）证明：如图1所示：                           

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=  1/2AB．

∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．

∴DA=DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE=BE=1/2AB．

∴BC=BE．
∴△EBC是等边三角形；

（2）结论：AD=DG+DM．
证明：
如图2所示：延长ED使得DN=DM，连接MN，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DN，
∴△NDM是等边三角形，
∴MN=DM，
在△NGM和△DBM中，
∵

∠N＝∠MDB    

MN＝DM    

∠NMC＝∠DMB    

   

∴△NGM≌△DBM，
∴BD=NG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．

（3）结论：AD=DG-DN．
证明：延长BD至H，使得DH=DN．
由（1）得DA=DB，∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH=ND，∠H=∠6=60°．
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中，

DN＝HN    

∠DNG＝∠HNB    

∠H＝∠2    

   

∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD．
∴AD=DG-ND．

追问

。。。你的答案跟我的题目都不符合好么。。。。

追答

（1）∵RT△ACB 

         ∠B=60°

         ∵BD平分∠ABC

         ∴∠DBA=30°

         ∴△ADB为等腰三角形  AD＝DB

         ∵DE⊥AB

         ∴DE为中垂线 即AE=EB

         ∵∠CBA=60°  ∠A=30°

         ∴AB=2CB  即CB=EB 

         ∴△ECB为等边三角形

         ∵BC=3

         ∴△EBC周长=3*3=9

（2）

证明：延长BD至H，使得DH=DN．
由（1）得DA=DB，∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH=ND=3，∠H=∠6=60°．
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中，

DN＝HN    

∠DNG＝∠HNB    

∠H＝∠2    

 ∴△DNG≌△HNB（ASA）．

∴DG=HB=10

∴DB=BH-HD=10-3=7

∵AD=DB

∴AD=7

我擦。。。大部分都是我自己打出来的。。。

满意了吧？满意了吧？？

符合了吧？符合了吧？？

那可是我自己做的！！！！