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求解!一道大一高数题。希望有详细步骤!
1个回答
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原来是高等数学的题目。
f(x) = ∫lnx/(1+x) dx 积分上下限: 1→x 为了看得更明白,定积分上下限暂不写出;
= ∫lny /(1+y) dy 积分上下限: 1→x 等求出原函数后,写出。
= ∫lnt /(1+t) dt 积分上下限: 1→x
想说明的是积分变量的符号不影响结果,这一点很重要:
f(1/x) = ∫lnt/(1+t) dt 积分上下限: 1→1/x
令 t = 1/u
原积分= ∫ln(1/u)/(1+1/u) d(1/u) u= 1→x
=∫-lnu/(1+1/u) (-1/u²)du u= 1→x
= ∫lnu / [u (1+u)] du u= 1→x
因为: 1 / [u (1+u)] = 1/u - 1/(1+u)
所以: ∫lnu / [u (1+u)] du
=∫lnu(1/u - 1/(1+u))du
= ∫lnu / u du - ∫lnu / (1+u) du
由于积分符号和积分值没有关系,前面一开始己经说明了,理解这一点很重要,
所以:
∫lnu / (1+u) du = ∫lnx/(1+x) dx
所以原定积分
= f(x) + f(1/x)
= ∫lnx/(1+x) dx + ∫lnu / u du - ∫lnu / (1+u) du
=∫lnu /udu
= ∫lnudlnu
=ln²u- ∫lnudlnu
∫lnudlnu=ln²u- ∫lnudlnu
移项得:
∫lnudlnu=(1/2)ln²u 积分上下限: u= 1→x
= (1/2)ln²x-(1/2)ln²1
= (1/2)ln²x-0
=(1/2)ln²x
答案:(1/2)ln²x
f(x) = ∫lnx/(1+x) dx 积分上下限: 1→x 为了看得更明白,定积分上下限暂不写出;
= ∫lny /(1+y) dy 积分上下限: 1→x 等求出原函数后,写出。
= ∫lnt /(1+t) dt 积分上下限: 1→x
想说明的是积分变量的符号不影响结果,这一点很重要:
f(1/x) = ∫lnt/(1+t) dt 积分上下限: 1→1/x
令 t = 1/u
原积分= ∫ln(1/u)/(1+1/u) d(1/u) u= 1→x
=∫-lnu/(1+1/u) (-1/u²)du u= 1→x
= ∫lnu / [u (1+u)] du u= 1→x
因为: 1 / [u (1+u)] = 1/u - 1/(1+u)
所以: ∫lnu / [u (1+u)] du
=∫lnu(1/u - 1/(1+u))du
= ∫lnu / u du - ∫lnu / (1+u) du
由于积分符号和积分值没有关系,前面一开始己经说明了,理解这一点很重要,
所以:
∫lnu / (1+u) du = ∫lnx/(1+x) dx
所以原定积分
= f(x) + f(1/x)
= ∫lnx/(1+x) dx + ∫lnu / u du - ∫lnu / (1+u) du
=∫lnu /udu
= ∫lnudlnu
=ln²u- ∫lnudlnu
∫lnudlnu=ln²u- ∫lnudlnu
移项得:
∫lnudlnu=(1/2)ln²u 积分上下限: u= 1→x
= (1/2)ln²x-(1/2)ln²1
= (1/2)ln²x-0
=(1/2)ln²x
答案:(1/2)ln²x
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