Question

求解！一道大一高数题。希望有详细步骤！

Answer 1

原来是高等数学的题目。

f(x) = ∫lnx/(1+x) dx 积分上下限： 1→x 为了看得更明白，定积分上下限暂不写出；
= ∫lny /(1+y) dy 积分上下限： 1→x 等求出原函数后，写出。
= ∫lnt /(1+t) dt 积分上下限： 1→x

想说明的是积分变量的符号不影响结果，这一点很重要：

f(1/x) = ∫lnt/(1+t) dt 积分上下限： 1→1/x
令 t = 1/u

原积分= ∫ln(1/u)/(1+1/u) d(1/u) u= 1→x
=∫-lnu/(1+1/u) (-1/u²)du u= 1→x
= ∫lnu / [u (1+u)] du u= 1→x

因为： 1 / [u (1+u)] = 1/u - 1/(1+u)

所以： ∫lnu / [u (1+u)] du
=∫lnu（1/u - 1/(1+u)）du
= ∫lnu / u du - ∫lnu / (1+u) du

由于积分符号和积分值没有关系，前面一开始己经说明了，理解这一点很重要，

所以：
∫lnu / (1+u) du = ∫lnx/(1+x) dx

所以原定积分
= f(x) + f(1/x)
= ∫lnx/(1+x) dx + ∫lnu / u du - ∫lnu / (1+u) du
=∫lnu /udu
= ∫lnudlnu
=ln²u- ∫lnudlnu

∫lnudlnu=ln²u- ∫lnudlnu
移项得：

∫lnudlnu=(1/2)ln²u 积分上下限： u= 1→x
= (1/2)ln²x-(1/2)ln²1
= (1/2)ln²x-0
=(1/2)ln²x

答案：(1/2)ln²x