Question

高中数学 复数的平方根与立方根 需要过程

Answer 1

复数 z = a + bi (1)
在求其平方根和立方根(或n次方根)之前，
先要根据复数的三角表示法：
将复数(1),表示成：
z = r (cosθ + i sinθ) (2)
方法是：r = |z| = √(a^2+b^2) (3) //: r > 0
θ = Arctan(b/a) (4) //: 主值
那么z的n次方根有n个：
W(k) = r^(1/n) [cos(θ+2kπ)/n + i sin(θ+2kπ)/n] (5)
k = 0,1,2,......,n-1。
下面举一例：求 z = 1 + i 的2、3次方根：
首先：r = √2，θ = π/4；
z = r (cosπ/4 + i sinπ/4)
平方根：W(0)= 2^(1/4) [cos(π/8) + i sin(π/8)] = 1.1892(0.9238+i 0.3826)
W(1)= 2^(1/4) [cos(π/4+2π)/2 + i sin(π/8)]
= 2^(1/4) [cos(9π/8)+i sin(9π/8)] = 1.1892(0.9039+i 0.4276)
立方根：W(0)=2^(1/6) [cos(π/12) + i sin(π/12)]=1.1224(0.9659+i 0.2588)
W(1)=2^(1/6) [cos(3π/4) + i sin(3π/4)]=1.1244(-0.7071+i0.7071)
W(2)=2^(1/6) [cos(17π)/12 + i sin(17π)/12] =1.1244(-0.2588-i 0.9659)
最后结果：
平方根：W0=1.0985 + i 0.4549
W1= 1.0749 + i 0.5085
立方根：W0= 1.0841+ i 0.2904
W1= -0.7936+i 0.7936
W2= -0.2904-i 1.0841
非0实数的立方根：举例：1的立方根：
w0 = cos 0/3 + i sin 0/3 = 1
w1 = cos (0+2π)/3 + i sin(2π/3)=-0.5+i 0.866
w2 = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = -0.5-i 0.866
即1的立方根在复数域有3个值：
验证一下：w2的立方：
(w2)^3=(-0.5+i 0.866)^3实际上：
=(-1/2+i √3/2)^3=(-1+i√3 )^3/8
=[(-1)^3+3(-1)^2 (√3 i)+3(-1)(√3 i)^2+(i√3)^3]/8
=[-1 + 3√3i +3*3 -i 3√3]/8
=(-1+9)/8
(w2)^3 = 1 数学真奇妙！数学真美！
也就是说复数：-1/2 + i √3/2 真的就是实数R=1 的一个立方根！

Answer 2

复数开n次方方法：
先化成三角形式：a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r=√(a²+b²)
然后有 n√(a+bi)=n√r·[cos(θ+2kπ)/n+isin(θ+2kπ)/n]，（其中k=0,1,2,...,n-1）
这里n√表示开n次方。

Answer 3

三次根号a

追问

没有虚数解？不需要分类讨论？

追答

开奇数次方没有虚根，开偶数根才有