Question

已知数列{an}中，a1=12，an+1－an=2n,则an/n的最小值为？

Answer 1

a(n+1) = a(n) + 2n = a(n) + n(n+1) - (n-1)n,
a(n+1)-n(n+1) = a(n)-(n-1)n,
{a(n)-(n-1)n}是首项为a(1)=12,的常数数列。
a(n) - (n-1)n = 12,
a(n) = 12 + (n-1)n.

a(n)/n = 12/n + n -1,
a(n+1)/(n+1) = 12/(n+1) + n,

a(n+1)/(n+1) - a(n)/n = 12/(n+1) - 12/n + 1 = [n(n+1) - 12]/[n(n+1)]
= (n+4)(n-3)/[n(n+1)],

1<=n<=3时，a(n+1)/(n+1) <= a(n)/n, {a(n)/n, 1<=n<=4}单调递减，a(n)/n >= a(4)/4 = 12/4 + 4 - 1 = 6.

n>=4时，a(n+1)/(n+1) > a(n)/n, {a(n)/n, n>=4}单调递增。a(n)/n >= a(4)/4 = 6.

因此，总有，a(n)/n >= a(4)/4 = 6.
a(n)/n的最小值为a(4)/4 = 6.

Answer 2

12