Question

△ABC是圆O的内接三角形，AB=AC，P为弧AB的中点，连接PA，PB，PC。

（1）若∠BPC=60度，求证AC=√3AP
（2）若sin∠BPC=24/25，求tan∠PAB的值

Answer 1

解：（1）∵∠BPC=60°，

∴∠BAC=60°，

∵AB=AC，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠APC=∠ABC=60°，

而点P是

AB    

的中点，

∴∠ACP=

1    

2    

∠ACB=30°，

∴∠PAC=90°，

∴tan∠PCA=

PA    

AC    

=tan30°=

3    

3    

，

∴AC=

3    

PA；

（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，

∵AB=AC，

∴AD平分BC，

∴点O在AD上，

连结OB，则∠BOD=∠BAC，

∵∠BPC=∠BAC，

∴sin∠BOD=sin∠BPC=

24    

25    

=

BD    

OB    

，

设OB=25x，则BD=24x，

∴OD=

OB2−BD2    

=7x，

在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，

∴AB=

AD2+BD2    

=40x，

∵点P是

AB    

的中点，

∴OP垂直平分AB，

∴AE=

1    

2    

AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，

在Rt△AEO中，OE=

AO2−AE2    

=15x，

∴PE=OP-OE=25x-15x=10x，

在Rt△APE中，tan∠PAE=

PE    

AE    

=

10x    

20x    

=

1    

2    

，

即tan∠PAB的值为

1    

2    

．

Answer 2

解：（1）∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，
而点P是AB‍ 的中点，
∴∠ACP=12‍ ∠ACB=30°，
∴∠PAC=90°，
∴tan∠PCA= PAAC‍ =tan30°= √33‍ ，
∴AC= √3‍PA；

（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴sin∠BOD=sin∠BPC= 2425‍ =BDOB‍ ，
设OB=25x，则BD=24x，
∴OD=√OB2−BD‍2 =7x，
在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，
∴AB= √AD2+BD‍2 =40x，
∵点P是 AB‍的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE=12‍ AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，OE= √AO2−AE‍2 =15x，
∴PE=OP﹣OD=25x﹣15x=10x，
在Rt△APE中，tan∠PAE= PEAE =10x20x =12‍ ，
即tan∠PAB的值为 12‍

追问

最后是10x/20x=1/2吧