Question

设数列｛an｝的前n项和为Sn=-n²，数列｛bn｝满足：b1=2,b(n+1)=3bn-t(n-1),

设数列｛an｝的前n项和为Sn=-n²，数列｛bn｝满足：b1=2,b(n+1)=3bn-t(n-1),已知a(n+1)+b(n+1)=3(an+bn)对任意n属于自然数集都成立。设数列｛an²+anbn｝的前n项和为Tn，问是否存在互不相等的正整数m,k,r，使得m,k,r成等差数列，且Tm+1,Tk+1,Tr+1成等比数列？若存在，求出m,k,r；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：
1、
n=1时，a1=S1=-1²=-1
n≥2时，Sn=-n²+(n-1)²=-2n+1
n=1时，a1=-2+1=-1，同样满足
数列{an}的通项公式为an=-2n+1
a(n+1)+b(n+1)=3(an+bn)
-2(n+1)+1+b(n+1)=3(-2n+1+bn)
b(n+1)=3bn-4n+4=3bn-4(n-1)
又b(n+1)=3bn-t(n-1)
t=4
2、
a(n+1)+b(n+1)=3(an+bn)
[a(n+1)+b(n+1)]/(an+bn)=3，为定值。
a1+b1=-1+2=1
数列{an+bn}是以1为首项，3为公比的等比数列。
an+bn=3^(n-1)
an²+anbn=an(an+bn)=(1-2n)×3^(n-1)=3^(n-1)-2n×3^(n-1)
Tn=3^0+3^1+...+3^(n-1) -2[1×3^0+2×3^1+...+n×3^(n-1)]
令Cn=1×3^0+2×3^1+...+n×3^(n-1)
则3Cn=1×3^1+2×3^2+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3ⁿ
Cn-3Cn=-2Cn=3^0+3^1+...+3^(n-1) -n×3ⁿ
Tn=2×[3^0+3^1+...+3^(n-1)]=3ⁿ-1
m，k，r成等差数列，设m=k-d，则r=k+d
T(m+1)=3^(k-d+1) -1 T(k+1)=3^(k+1) -1 T(r+1)=3^(k+d+1) -1
若存在m，k，r满足T(m+1)，T(k+1)，T(r+1)成等比数列，则
T(k+1)²=T(m+1)×T(r+1)
[3^(k+1)-1]²=[3^(k-d+1)-1][3^(k+d+1)-1]
整理，得
3^d +1/3^d =2
3^d=1 d=0
m=k-d=k-0=k r=k+d=k+0=k m=k=r，与已知不符。
综上，不存在满足题意的m、k、r。

追问

请问您是从哪里得到的答案？是自己做的吗？