Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是abc，且acosC+ccosA=2bcosB,求a+c

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是abc，且acosC+ccosA=2bcosB,求a+c/b的取值范围

Answer 1

利用正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ acosC+ccosA=2bcosB
∴ sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB
∴ sin(A+C)=2sinBcosB
∵ A+C=π-B
∴ sin(A+C)=sinB
∴ cosB=1/2
∴ B=π/3
(a+c)/b
=(sinA+sinC)/sinB
=(sinA+sin(2π/3-A)/(√3/2)
sinA+sin(2π/3-A)
=sinA+√3/2*cosA+1/2*sinA
=3/2*sinA+√3/2*cosA
=√3(√3/2*sinA+1/2*cosA)
=√3sin(A+π/6)
原式(sinA+sin(2π/3-A)/(√3/2)
=2sin(A+π/6)
∵A∈(0,2π/3）
∴A+π/6∈(π/6,5π/6）
∴sin(A+π/6)∈(1/2,1]
∴2sin(A+π/6)∈(1,2]
∴(a+c)/b∈(1,2]
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