设向量B可由向量组A1，A2，A3线性表示，试证明：线性表示唯一的充分必要条件是A1,A2,A3线性无关
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b = m1a1+m2a2+m3a3
若表示法唯一
设 k1a1+k2a2+k3a3 = 0
则 b = (k1+m1)a1+(k2+m2)a2+ (k3+m3)a3
因为b的表示法唯一
所以 ki + mi = mi
所以 ki=0
所以 a1,a2,a3 线性无关
若 a1,a2,a3 线性无关
则 r(a1,a2,a3) = 3 = r(a1,a2,a3,b)
所以 线性方程组 x1a1+x2a2+x3a3 = b 有唯一解
即 表示法唯一
若表示法唯一
设 k1a1+k2a2+k3a3 = 0
则 b = (k1+m1)a1+(k2+m2)a2+ (k3+m3)a3
因为b的表示法唯一
所以 ki + mi = mi
所以 ki=0
所以 a1,a2,a3 线性无关
若 a1,a2,a3 线性无关
则 r(a1,a2,a3) = 3 = r(a1,a2,a3,b)
所以 线性方程组 x1a1+x2a2+x3a3 = b 有唯一解
即 表示法唯一
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