Question

已知直线l:x-y+m=0,椭圆C:4x^2+y^2=1,当m为何值时

已知直线l:x-y+m=0,椭圆C:4x^2+y^2=1,(1)当m为何值时,直线l与椭圆C相切，相交，相离？(2)求被椭圆C截得的最长弦所在的直线方程及最长弦长。（麻烦详细些，谢谢）

Answer 1

(1)联立两个方程消去y得5x²+2mx+m²-1=0
判别式Δ=20-16m²
当20-16m²=0,即m=±√5/2时,直线与椭圆相切
当20-16m²>0,即-√5/2<m<√5/2时,直线与椭圆相交
当20-16m²<0,即m<-√5/2或m>√5/2时,直线与椭圆相离
(2)韦达定理有x1+x2=-2m/5,x1x2=(m²-1)/5
∴y1+y2=x1+m+x2+m=8m/5,y1y2=(x1+m)(x2+m)=(4m²-1)/5
设所求的弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),由距离公式,AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2,(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2
解得AB²=(40-32m²)/25
当m=0时,AB²有最大值为40/25,∴AB=2√10/5
直线方程为x-y=0