Question

有几道函数的题目请教大家

已知f(x)=px^2+2/3x+q是奇函数，且f(2)=5/3
(1)求实数p,q的值
(2)判断函数f(x)在（-无穷，-1）上的单调性，并证明。
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x
(1)求f(x)
(2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值
已知f(x)=x^2+ax+3-a恒成立，若x属于[-2,2]时，f(x)>=0恒成立，求a的取值范围、

Answer 1

解：(1)由已知f(x)=px^2 2/3x q是奇函数，故偶次幂的系数必为零，即p =0 , 又由f(2)=4/3＋q=5/3解得q =1/3
(2)由一次函数f(x)=2/3x＋1/3的斜率为2/3>0知函数f(x)在（-无穷，-1）上是单调增函数，具体证明可利用定义。
(1)利用待定系数法，设函数f(x)=ax�0�5＋bx＋c 由已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1知c =1又f(x 1)-f(x)=2ax＋a＋b=2x故
2a =2
a＋b=0 解得
a =1
b =-1
f(x)=x�0�5-x＋1
(2)f(x)=x�0�5-x＋1 =(x-1/2)�0�5＋3/4
在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3 最小值为f(1/2)=3/4
由已知f(x)=x^2 ax 3-a，若x属于[-2,2]时，f(x)>=0恒成立，求a的取值范围是动轴定区间问题，需分类讨论之
①a ≥4 时，对称轴在-2左边，函数在[-2,2]上递增，最小值在x =-2处取得，F nin=f(-2)=7 -3a ≥0 解得a ≤7/3这与前提 a ≥4矛盾，舍去
②-4 ≤a ≤4时，最小值在对称轴处取F min =f(-a/2)= 3-a -a�0�5/4≥0 解得 -6≤a ≤2即在 -4≤a ≤2时成立
③a<-4时，分析同上，最小值在x =2处取，有7＋a ≥0 即a ≤-7
综上得-4≤a ≤2或a ≤-7