Question

求幂级数∑(n=1,∞)（n+1）nx^(n-1)的和函数，并给出收敛域

求学霸指点，过程和答案！谢谢！

Answer 1

S(x) = ∑<n=1,∞> (n+1)nx^(n-1)
∫<0,x>S(t)dt = ∑<n=1,∞> (n+1)x^n
∫<0,x>du∫<0,u>S(t)dt = ∑<n=1,∞> x^(n+1) = x^2/(1-x) (-1<x<1)
则 S(x) = [x^2/(1-x)]'' = [-x-1+1/(1-x)]'' = [-1+1/(1-x)^2]' = 2/(1-x)^3.
收敛域：-1<x<1 。

追问

为了应考，知识点薄弱
其中这一步不能理解：
∫du∫S(t)dt = ∑ x^(n+1)

可否以目的方法详解一下？
感激不尽！

追答

S(x) = ∑ (n+1)nx^(n-1)
积分一次， 变为 ∫S(t)dt = ∑ (n+1)x^n
再积分一次，变为 ∫du∫S(t)dt = ∑ x^(n+1)
目的使等式右边变成便于求和的无穷递缩等比数列之和：
x^2+x^3+x^4+......+x^n+......,
这类数列，当公比 -1<q<1 时， 所有项之和是 a1/(1-q),
对于本题即 x^2/(1-x)。