Question

用函数极限的定义证明：limx^3（x趋向于2）=8

Answer 1

任给正数 ε > 0 ，取 δ = min(ε/20 ，1) ，
则当 |x-2| < δ ，1 < x < 3 ，
因此 |x^3-8| = |x-2|*|x^2+2x+4| < ε/20*(9+6+4) < ε ，
所以 lim(x→2) x^3 = 8 。

追问

不应该是取 δ = min(ε/19 ，1) 吗

追答

当然是越小越好，19/20*ε 不也小于 ε 嘛。

追问

为什么参考答案只是δ =ε/19，而没有那个1

追答

必须有那个 1 （或别的更小的数）。
这是由于 ε 是任给的正数，万一它很大，虽然 δ=ε/19 ，但不能保证 |x^3-8| 比 ε 更小。

Answer 2

任给正数 ε > 0 ,取 δ = min(ε/20 ,1) ,则当 |x-2| < δ ,1 < x < 3 ,因此 |x^3-8| = |x-2|*|x^2+2x+4| < ε/20*(9+6+4) < ε ,所以 lim(x→2) x^3 = 8 .